Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 517
прос, упоминаемый в § 483, восходит к "Началам" Ньютона, а спустя два
столетия он привел Адамса к бесконечным определителям (см. § 524 ниже).
Изложение в §§ 480-482 следует из Леви Чивита (Ann. Ёс. Norm. Sup. (3)J28
(1911), 325-376), которым был получеп (там же) результат, указанный в §
487, но в менее четкой форме путем доказательства того, что остаточный
член линейного приближения для узла ограничен. Почти периодичность этого
остаточного члена (§§ 485-487) была замечена Уинтнером (Anu. di Mat. (4),
10 (1932), 277-282; см. Amer. Journ. of Math. 62 (1940), 49-60).
Исследования .Леви-Чивита были распространены на общую задачу трех тел в
статье Тревизани (жены Леви-Чивита) (Libera Trevisani, Atti 1st. Veneto
712 (1912), 1089-1137). См. также Emma Trapani, Rend. Acc. Napoli- (3) 25
(1919), 48-69). Результаты относительно существования среднего движения и
почти периодичности остаточного члена в общей теореме (§ 484) были
сформулированы в виде предположения Уинтнером, а впоследствии доказаны
Бором (Medd. Danske Akad. 10 (1930), № 10; Comm. Math. Helv. 4 (1931),
51-64, где доказано постоянство спектра частот). Изящное замечание в §
488 принадлежит Леви-Чивита, цит. соч., 352-353; см. также Acad. Polyt.
Ann. do Porto 12 (1912), 193-206.
§§ 489-502. Фундаментальная работа Хилла (Works 1, 284-335), где
рассматривается случай (4), появилась в 1878 г. Кривые нулевой скорости
(§§ 495-497) были введены Хиллом (цит. соч.) с целью доказать, что
расстояние между Землей и Луной должно оставаться во все времена
ограниченным, если движение определяется согласно (li) и (4).
Характеристические показатели для либрационных решений (§ 494) были
рассмотрены Пуанкаре (Meth. Nouv. 1 (1892), 159-161). Метод
регуляризации, предложенный Леви-Чивита (1904; см. §§ 447-450), был
применен к предельному случаю Хилла (§ 498) Биркгофом (Palermo Rend. 39
(1915), 314-315). Результат, приведенный в § 501а, был доказан Пуанкаре
(Acta Math. 13 (1890), 74-79; см. К. В о hi in, там же, 10 (1887), 115-
117) с помощью более косвенных соображений. В частности, хотя изложенное
остается справедливым, если (4) заменить на (2), но все рушится в случае
общей задачи трех тел (см. Bohlin, цит. соч., 118-121; Poincare, Meth.
Nouv. 3 (1899), 165- 174). Можно полагать, что эта ситуация связана с
вопросами транзитивности. Результат, полученный в § 500 с помощью способа
регуляризации Леви-Чивита, впервые был доказан Биркгофом (цит. соч., 284-
285) для (2) вместо (4) с помощью его собственного метода регуляризации
(§ 453); ему удалось при этом определить (цит. соч.) топологическую
структуру изо-энергетического фазового пространства также в оставшихся
трех из четырех общих типов, описанных в § 472. Применимость эргодической
теоремы, подчеркнутая в § 501а (см. Win tner, Math. Ztshr. 36 (1933),
637), обусловлена тем фактом, что встречающиеся асимптотические
распределения (§§ 123-124) не подвергаются изменениям при преобразованиях
изознерге-тического фазового пространства и времепи, аналогичных тем,
которые были рассмотрены в примечании к § 49.
Интересно, что в то время, как Пуанкаре сразу признал фундаментальное
значение исследований Хилла, другой ведущий авторитет в области
математической астрономии в ту эпоху, Брунс, который реферировал работу
Хилла в Fortschr. d. Math. (10 (1878), 782), не обратил на нее серьезного
внимания.
§§ 503-515. В статьях, упомянутых среди ссылок к §§ 305-307, применяются
три различных, хотя принципиально эквивалентных, аналитических метода для
доказательства существования периодических решений простого типа в случае
общей динамической системы: (i) мотод аналитического продолжения,
опирающийся на теорему Коши о локальном существовании
518 ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
(Пуанкаре); (ii) метод последовательных приближений для интегральных
уравнений с использованием функции Грина (Лихтенштейн); (iii) метод
сравнения коэффициентов рядов Фурье, который связан с теоремами
существования решения бесконечных систем нелинейных уравнений,
определяющих неявные функции. Этот третий метод и является методом Хилла
(цит. соч.), рассмотренным в §§ 505-506, хотя сам Хилл и подчеркивает
(см. цит. соч., стр. 287, абзац: "Я сожалею, что ввиду трудности
вопроса... ничто в сочинениях Коши не поможет нам, по-видимому, выяснить
условия сходимости"), что он не смог дать необходимое доказательство
существования (сходимости). Такое доказательство сходимости (§§ 507-515)
было дано впоследствии Уинтнером (Math. Ztschr. 24 (1935), 259-205).
Следует упомянуть, что в соответствии с весьма элементарными
соображениями Биркгофа (цит. соч., 316-317) вопрос о существовании
периодических решений в случае обратного движения [т. < 0) является
гораздо более легким, чем в случае Хилла [т > 0). Насколько можно судить
по короткому реферату в Fortschr. d. Math. 26 (1895), 1103,
