Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
429, пе излагается непосредственно, поскольку он связывается с более
глубокой теоремой, сформулированной в § 431 (которая исключает, в
частности, случай С = 0 § 431а). Однако с методической точки зрения
представляется целесообразным изложить непосредственный подход (§§ 427-
430) к более простому факту, сформулированному в конце § 426, оставляя
теорему § 431 в стороне. На дальнейшее возможное упрощение, приведенное в
§ 429, было указано ван Кампеном.
§§ 431-431а. Результаты, изложенные в § 431а для С = 0 вытекают, хотя и
пе совсем непосредственно, из исследований Шази, упомянутых в конце
комментария к §§ 365-368а; см. действительно предыд. ссылку, стр. 382-
383. Теорема для С Ф 0, упомянутая в § 431, принадлежит Зундману (см. его
статьи, на которые мы ссылались в связи с § § 348-352). Его
доказательство содержит ошибку, которая была легко исправлена Адамаром
(Bull, dos Sci. Math. 39 (1915), 249-264), при сохранении идей Зундмана.
Эти идеи существенно уточняют соображения Якоби (см. §§ 332-332а).
Действительно, теперь бесполезно устремлять t к бесконечности, поскольку
требуются явные оценки расстояний в конечных интервалах измерения t,
скапливающихся при t = оо. В этом смысле можно считать, что теорема,
изложенная в § 431, имеет тот же самый тауберов характер, что и
результат, приведенный в §§ 337-338а (хотя та часть соображений, которая
имеет явно таубе ров характер, не была выделена в отдельную общую лемму
относительно вещественных функций). Методы Зундмана - Адамара для
вычисления встречающихся оценок были развиты впоследствии Шази (Ann. Ес.
Norm. Sup. (2) 39 (1922), 109-126) и Биркгофом (Dynamical Systems, 1927,
275- 283) (также 291-292; см. J. L. Hinrichsen, Trans. Amer. Math. Soc.
36
(1934), 306-314).
Образец результатов, которые оказываются доступными благодаря этому
методу уточненных оценок, можно сформулировать следующим образом. Если п
= 3 массы и постоянные интегрирования h < О, С ф 0 фиксированы, то
существует достаточно малое положительное число с тем свойством, что если
J = J(t) становится при некотором t меньше, чем это число, то два из
взаимных расстояний должны стремиться вместе с t к бесконечности, а
третье расстояние остается меньше некоторого фиксированного предела;
кроме того, относительно удаленным в процессе всего движения является
всегда одно и то же тело.
§§ 432-440. На методическое содержание этих параграфов большое влияние
оказали неоднократные дискуссии с профессором Г. Д. Биркгофом. О свя -зи
§§ 433-440 с имеющейся по этому поводу литературой можно судить по
комментарию к §§ 390-397 (см., в частности, Биркгоф, цит. соч.).
Разложения, выписанные в §§ 432-432а, были получены Зундманом, цпт. соч.
[в этой связи см. Пуанкаре ((1886), Oevres 1, 181-189); P. Ра in love,
Stockholm, Lemons, 577-582; также посмертные (1857) записки Коши (Oevres
(1) 12, 445-455); наконец, утверждения Брунса и Вейерштрасса, на которые
указывалось в связи с § § 415-420а]. Типичными замечаниями по по-
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 515
воду формулировки, упомянутой в § 432а, являются те, которые сделаны
Пикаром (Е. Picard, Bull, des Sci. Math. (2) 37 (1913), 313-320). Вместе
с тем астрономы имели с самого начала весьма скептическое мнение о
полезности разложений Зундмана. Что касается конца § 432а, то см.
вычисления Д. Белорицкого (Bull. Astr. (2) 6 (1930), 417-434).
ГЛАВ А VI
§§ 441-443. Вторая эйлерова теория Луны, опирающаяся на применение
вращающейся системы координат и на схему, указанную в § 441, была
опубликована в 1772 г. в монографии "Theoria motum lunae...". Якоби,
который вновь пришел к этой схеме в 1836 г. (Werke 4, 37-38), по-
видимому, при знавал ее целесообразность также для теории малых планот, и
указал на интеграл (74). Что касается дальнейших ссылок, то см.,
например, статью Ньюкома, посвященную теории Луны (Atti del IV Congr.
Int. Mat. 1908, 1, 135-143).
§ 443a. Cm. G. H. Darwin ((1897), Papers 4, 4).
§ 444. См. комментарий к § 203.
§ 444a. Это замечание имеется в статье Замтера (Н. S a in t е г, Astr.
Nachr. 217 (1922), 129-152), хотя он не упоминает, что схема двух
неподвижных центров (Эйлер) здесь фактически уточнена благодаря включению
центробежных членов и что в этом отношении случай двух равных масс
является исключительным.
§ 445. Доказательство отсутствия новых интегралов того типа, который был
указан во второй половине § 320а, дано впервые Пуанкаре в случае
ограниченной задачи (Acta Math. 13 (1890), 259-265; см. Meth. Nouv. 1
(1892), Chap. V). Недавно Зигель (С. L. Siegel, Trans. Amer. Math. Soc.
39 (1936), 225-233) перенес на ограниченную задачу результаты Брунса об
отсутствии новых алгебраических интегралов (см. § 320а).
§§ 446-454. Преобразование, примененное в § 451, является именно тем, с
помощью которого Эйлер проинтегрировал свою задачу двух неподвижных
центров (см. § 203). После опубликования фундаментальной статьи Бурро
(Astr. Nachr. 135 (1894), 233-240; 136 (1894), 161-174; см. также его
