Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЭКСИТОН
Вблизи дна зоны проводимости кинетическая энергия электрона описывается выражением
/ I / Ь*-k* M \
V !-o<k«>' , (18)
где ке— бло^овский волновой вектор, измеренный относительно края зоны проводимости, Tt.- амплитуда волнового пакета с чис-лоц компонент, равным кратности вырождения края. Для кинетической энергии дырок вблизи края валентной зоны справедливо аналогичное выражение. Для простоты можно положить, что кран зон не вырождены, и заменить тензоры эффективных масс ¦средними ИХ главных значений. В такой упрощенной модели волновое уравнение для экситонных волновых пакетов Ф вблици края зоны припилает вид
(JL_A____)ф-Еф (19)
Если ввести новые координаты
T = Te-Th, p = (mtrfJ — miTh)(mi\-mf,)-\ (20)
то можно представить Ф в виде произведения функций, из которых только одна зависит от г. С точностью до фазового множителя эта функция совпадает с функцией F (г), которая удовлетворяет подо род« подобному уравпению [81
V -III B1T ) V 2 -^mjl) ) \ >
В уравнении (21) всі(ичина г = | г,, — rh |, а р — переменная, канонически сопряженная с г. Величина йК — суммарный импульс системы. В случае прямых переходов К 4L а (а — размер эоцы Бриллюэна), и соответствующий член оказывается несуществен- 286
' Дж. Филлипс
ным, если только в эксперименте не измеряют весьма малые аффекты, связанные с пространственной дисперсией 19].
Эллиотт [10] детально проанализировал соотношение (21). Он установил, что при нрямых переходах следует рассматривать два существенных случая:
а) Прямой переход разрешен. В этом случае наблюдаются серии Ридберга S-Dкситовов с силой осциллятора, пропорциональной величине I F (0) 12 та \ а^п |~3. Было установлено, что это правило выполняется для экситонов сга=1 ип = 2в CuI и в твердом Xe.
б) Прямой переход запрещен в дипольно,м приближении вследствие четности. В этом случае наблюдаются р-экситопы. Силы осцилляторов таких ЭКСИТОНОВ меньше, чем экситонов А-серии, в Ctjai раз, где а — атомный радиус и Ui - первый боров-ский радиус экситона. Сила осциллятора пропорциональна
I OF (0)/дг |2 (її2- — 1 )/пъ\ р-серии экситонов наблюдалпсь в CiiaO.
Имеется два типа существенных поправок к выражению (21). Поправки одного тина обусловлены динамическим экситонноре-віеточньїм взаимодействием, а поправки другого типа — отклонениями от континуального волнового уравнения (21). связанными с ячеистым строением кристалла. В первую очередь мы рассмотрим второй тип поправок,
В случае мелких зкситонов, энергия связи которых E1 значительно меньше ширины запрещенной зоны Egt экситонный радиус ау намного меньше атомного радиуса а. В этом случае предполагается, что поправки, вызванные локальным по-чем, для .параболической кинетической энергии и для кривизны потенциальной: энергии в выражении (21) должны быть малыми. В работе Кона ]11] для таких поправок устанавливается количественный критерий. На основе теории возмущений он получает параметр, характеризующий справедливость макроскопического подхода:
Достаточным условием применимости (21) для макроскопического случая является неравенство Но необходимо ли это условие?
Чтобы показать, что уравнение (21) дает неудовлетворительный макроскопический параметр качества, мы сопоставим в табл. 1 величины q для донорных состояний в Si и Ge и отклонения энергии связи основного состояния Is от значения, предсказываемого водородоподобной моделью, с соответствующими величинами для Kr и Xe [6, 7].
Соотношение (22) правильно предсказывает, что относительные отклонения от водородоподобной модели для кремния больше, Гл. 7. Экситоны.
287
Таблица 1
Структурные поправки (для водородоподобных дефектов) в сравнении с макроскопическим параметром качества Кона
с а„/а <7 -^EgdiEiatt С а0/а 9 — A'A«/?'ia<>
Ge Si 0,24* 0,62* 16 7/і 3200 1000 Kr Xe —0,13** +0,07** 3,8 4,1 26 44
* Средисп дли динорных примесей Р, Ae и Sb [1L].
** РидOeproвокие серии дкситопа [12].
чем Для германия. Но в то же время из него следует, что данные для Si и Gc должны быть приблизительно на два порядка более точными, чем длн Kr и Xe. Из таблицы же видно, что для Kr и Xo водородоподобная модель почти в 3 раза более точна, чем для Si и Ge («неправдоподобный» результат, согласно Ноксу 113І).
В работе [111 рассматриваются две специфические поправки к выражению (21). Разложение кинетической энергии в ряд должно содержать членьї р*, рк, ¦ . ., так как энергетические зоны сглаживаются при больишх р. Грубо говоря, в центральной ячейке массу mt нужно заменить на т. Кроме того, следует считать, что в центральной ячейке Ei —»-1, как говорилось в § 1 в связи с выражением (6). Обе эти поправки, относящиеся к центральной ячейке, снижают энергию состояния Is, не влияя существенно на состояния с ге 2. Но из табл. 1 видно, что величина С = IE1 — E (Is)]/ I E (Is) І для Kr в действительности отрицательна. Это означает, что требуется третья поправка со знаком, противоположным знаку члена, соответствующего кинетической энергии, и диэлектрическому члену.
