Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Волновая функция, описывающая внутреннее движенце пары, определяется уравнением
(-g-+eFr)(p,(r) = ?^(r). (222)
Решения такого уравнения разбираются в учебнике Дандау и Лиф-шица 1131]. Эти решения были применены к интересующей нас задаче Тармалингамом [129]. В цилиндрических координатах р, ф, Z (положительное направление оси z выбрано вдоль электрического поля) переменные разделяются, Собственные значения имеют вид
ftaftO
E1 = Ez ++Ett (223)
где Et — та часть энергии, на которую непосредственно влияет электрическое поле, Собственные функции определяются выражениями
(')=^^(-?^)* (224)
где
(225)
Нормирующий множитель В дается формулой Гл, б, Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 259
Здесь Ai(?) — функция Эйри, определяющаяся следующим интегральным представлением [132J:
OO
Ai(P)=-J5- j cos + du. (227)
о
Для выяснения общего хода функции (224) рассмотрим ес асимптотические формы, При Z —> со фувкция ф/ экспоненциально стремится к нулю, так что при данном значении к9 имеем
2 ( eFz~Ez \
• (228)
При отрицательных z функция фг(г) осциллирует, и при z—>—оо ее амплитуда стремится к нулю. Асимптотический вид ф2 при больших по модулю отрицательных Z таков-,
<229>
Таким образом, при любых значениях энергии Ez имеются решения уравнения (222), обращающиеся в нуль при z —>- rh оо. Поэтому обычные граничные условия периодичности для этих функций неприменимы. Плотность состояний в плоскости, перпендикулярной полю, не зависит от энергии Й2/ср/2р, так что собственные значения энергии волнового уравнения (222) эквидистантны,
Оптическое поглощение для прямых разрешенных переходов определяется величиной
(23°)
Закон сохранения энергии при оптических переходах имеет вид
ft 2?
kv = Eg + Et+^-. (231)
Польауясь этим выражением, запишем (230) в форме
При наличии электрического поля электронно-дырочную пару может создать фотон со сколь угодно малой энергией. Если же энергия фотона задана, то в поглощении участвуют электроны с любыми значениями Ez, от Av — Ee до —оо. При этом Й=А-р/2р изменяется от нуля до OO.
17» 258
' Е. Джонсон
Коэффициент поглощения МОЖНО найти с помощью формул (36), (232) и (40):
ahv AE1J2 j І Лі (і) |2 dt, (233)
(Eg-Av)ZEo
где А определяется из уравнения (79).
Интеграл в выражении (233) берется аналитически [129], но нам удобнее асимптотическая формула. Как и ожидалось, поглощение начинается при hv < Eg и при достаточно большом дефиците энергии кванта имеет вид
AE3Iz _ ifJZ^S
3 * • (2з4>
Отсюда видно, что, когда энергия фотона меньше ширины запрещенной зоны, поглощение экспоненциально убывает. При hv > Eg имеем
(235)
Когда поле стремится к нулю, величина E0 также обращается в нуль и формула для коэффициента поглощения переходит в выражение, полученное без учета электрического поля.
Каллауэй [128, 133] обратил внимание на осциллирующую зависимость коэффициента поглощения от энергии фотона, которая возникает при наличии электрического поля. Период осциллирующей части в выражении (235) равен
Л (И ~ nT^gvT- (236)
Другой тип осцилляции, возникающих при hv >- Egf связан с возникновением дискретных «щтарковских уровней» [128, 134].
Экспериментально наблюдающийся край поглощения в соединениях A111Bv, например арсениде галлия (фиг. 7), часто оказывается экспоненциальным в интервале изменения коэффициента поглощения на два порядка и более. Это обстоятельство послужило основой для предположений О ТОМ, что экспоненциальную зависимость поглощения вблизи края можно объяснить существованием внутренних электрических полей [135]. Действительно, автор обнаружил, что коэффициент поглощения арсенида галлия вблизи края сильно зависит от обработки поверхности, а это может Гл. (і. Поглощение вб.ш.іи кр</м фундаментальной полосы 261
указывать на наличие полей вблизи поверхности. В то н;е время Франц [126) связал экспоненциальную зависимость с изменением плотности состояний вблизи экстремумов зон и получил, что в этом случае электрическое поле должно сдвигать край поглощения на величину
(237)
если коэффициент поглощения при пулевом электрическом поле имеет вид
a =Taoej-Cv-Fg). (238)
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Влияние сильного электрического поля на край фундаментального поглощения трудно паблюдать в чистых условиях. Для избежания нагрева вследствие большой плотности тока приходится экспериментировать с высокоомными образцами или с р — л-пере-ходами [136, 137]. Высокоомный арсенид галлия получают, вводя глубокие примесные уровни путем химического легирования. В кремний глубокие примесные уровни можно ввести ионной бомбардировкой.
Влияние электрического ноля на фундаментальное поглощение в полуизолирующем арсениде галлия изучал Mocc [56]. На фиг. 48 представлсп график, где по оси ординат отложен сигнал, пропорциональный интенсивности проходящего излучения, в отсутствие электрического поля при энергиях фотона, лежащих вблизи края поглощения. Кривая поглощения снималась обычным способом, путем модуляции падающего излучения и регистрации переменной составляющей проходящего. На фиг. 48 представлена также кривая сигнала, полученного без модуляции интенсивности падающего излучения, но при переменном электрическом поле, приложенном к образцу. Такой сигнал пропорционален производной по энергии фотона от интенсивности излучения, проходящего через образец при нулевом поле. Это соответствует тому, что влияпие электрического поля сводится просто к сдвигу края поглощения. Такой сдвиг был ранее предсказан Францем. Величина сдвига пропорциональна квадрату электрического поля в согласии с выражением (237) и с точностью до 10% совпадает с расчетным значением [9,3 -10-'6 эв в-х смЦ. Эти данные подтверждают теорию и, по-видимому, указывают на то, что для предположения об экспоненциальной зависимости плотности состояний в запрещенной зоне имеются некоторые основания. Хорошее согласие с теорией 262
