Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Точное выражение для комплексной диэлектрической проницаемости є (<u) изолятора, верное в приближении хаотической фазы [47] и качественно включающее эффекты затухания, можно получить с применением приближения Эренрайха и Кохена [48].
Рассматривается отклик кристалла кубической симметрии на внешний потенциал V (х, t) = V (q, со) е*'4"х~мі), соответствующий электрическому полю световой волны. Эффектами 109 X. Филипп, X. Эренрайх
локальных нолей [49j пренебрегают. Хотя применимость этого приближения для проводников еще недостаточно установлена, можно полагать, что оно справедливо для элементов IV группы и соединений AinBv. Действительно, существует весьма эффективное уменьшение кристаллического потенциала отталкиватель-ным «ортогоиализациопным» потенциалом [50). Поэтому решение имеет вид энергетических зон, очень напоминающих зоны, получающиеся в приближении почти свободных электронов.
Уравнение Лиувилля, описывающее отклик на внешнее воз-мущепие V (х, ?), записывается в виде
где H-Hо _[_ F (х, t) — гамильтониан для одной частицы, и H0- P2i/2т -fl Vl (х) —невозмущенная часть, описывающая бло-ховский электрон в твердом теле, характеризуемом периодическим потенциалом Vl (х). Член с (5р/д?) столки описывает эффект столкновений. Так как внешнее поле, являющееся полем монохроматической световой волны, мало, можно ограничиться рассмотрением одной компоненты Фурье и линеаризовать задачу. Процедура линеаризации состоит в разделении матрицы плотности р = = Po + Pi на невозмущеиную часть р0 и возмущенную часть P1; при этом членами, включающими PiVt пренебрегают. Операторы H0 и р0 удовлетворяют равенствам
Здесь 1 kZ) = Q_1/zur (k, х) ^ik"* — обычная блоховская функция, описывающая электрон к в зоне I, нормализованная в объеме Q, и /{ (к) — невозмущенное одночастичное распределение Ферми.
Остается теперь сделать правильный выбор для (др/Зі)етолкя и V (х, t). Наипростейшим предположением для члена, описывающего эффект столкновений, который позволяет физически разумно, хотя бы качественно, включить эффекты уширения в теорию, будет так называемое приближение времени релаксации, которое может быть введено в виде [51, 52] (Зр/ді)стотш — pj/т или (др/д/)столкн = [р — ро (H0 Jr F)]/т. Мы можем описать световую волну векторным или скалярным потенциалом и найти наведенный ею ток или плотность заряда. К сожалению, да;ие при одной и той же форме члена Столкновений некоторые ИЗ четырех способов получения е (ю) приводят к разным результатам при отличном от нуля т. Причина этого в том, что такая упрощенная форма (dp/di)стол™ ве удовлетворяет калибровочной инвариантности или, что эквивалентно, соответствует введению источника в уравнение непрерывности. Так, V-] Jr dn/dt Ф 0. Высший
а-Ї-,я. „)_«(?)
СТОЛ KH '
(9)
H0\kl)=El1t\kl),
Pol kf) = /гь |kf).
(10) Гл. 4. Оптические свойства в области фундамент, полосы, поглощения 111
член в уравнении непрерывности зависит от (Op/OO столки и интерпретируется как возникновение или аннигиляция частицы в процессе столкновения. Трудности, конечно, не возникли бы, если бы члены столкновения были введены корректным образом.
Мы ограничиваем наши исследования нахождением производной, типичной в случае применения приближения времени релаксации. Мы найдем ток, индуцированный внешним потенциалом (соответствующим световой волне) V (х, t) = (е/тс) А-р, когда вектор-потенциал имеет вид А (г, t) = A (q, со) • еі(ч• г-<в(). Величина р — это оператор импульса. Предположим, что член столкновений имеет форму (dp/dt)cTojiRH = — Pi/T- Тогда линеа-риэовапиое уравнение Лиувилля имеет вид
і h
=Ih^- (И)
и его легко решить, если принять во внимание, что V (х, ) и p1 (х, t) изменяются как а матричные элементы
взяты с блоховскими функциями к/ и к'V. Затем можно -г заменить на TkJi к-г., чтобы тем самым выразить, что время релаксации может зависеть как от волновых чисел, так и от индексов зон, соответствующих начальному и конечному состояниям. Находим
рк+ч"г;к'= М«к+Ч. ^+«+'/Ч+,. ,:*.«•] Fk+<r-к-(12)
где йсйк [HIjIjkJ' =-Ek-Hi,!-Ek J-. Далее
^W1; M' = ^A(q, (O)e-i^--L j x
0
X (p+7ik + і Aq) Uktl- (X) = -^-A(q, со)• IIk44,, k, (13)
где интегрирование производится по элементарной ячейке объемом Va и последнее тождество служит определением П. Ток, наведенный световой волной, дается следующим выражением:
где
Інав (X, O = Sp [Jop1+ Jip0] =Інав (q, со) є1«"*"««),
'в = [Pto (X - *<") + 6 (X Xe> Pe]
J1 = —Ao (x — xe),
mr. V 112
# X. Филипп, X. Эренрайх
а ре и —операторы импульса и координаты. В матричном представлении плотность тока имеет вид
JI" (q, Ш) = (On)-I 2 pk-i-q, і; к['П|(, j-; k-fq, I ~T fk'! ~
__ gA (q, ti>) Г 1 у .
Диэлектрическую проницаемость, зависящую от частоты и волнового числа, можно определить следующими соотношениями:
J-» (q, a>)=(-^)[e(qt fi>)-l]J(q, ®) =
Связь между этими определениями вытекает из соотношения % (х, t) = — с-1 ЗА (х, t)/dt. Диэлектрическая проницаемость может быть теперь легко выведена путем определения коэффициентов A (q, о)) в (14) и (15). Прежде чем приступить к написанию точных результатов, член в (14), включающий сумму по k, I и Г, следует упростить и написать его в виде, допускающем его применение в случае полупроводников. Так пак при комнатной температуре число термически возбужденных носителей значительно меньше, чем число носителей в валентной зоне, при анализе оптических свойств в видимой и ультрафиолетовой (не в инфракрасной) областях мы можем пренебречь первыми. Таким образом, все зоны можно рассматривать либо как заполненные, либо как пустые, т. е. //k = 1 или 0. Следовательно, все члены в (14), включающие внутризонные переходы, исчезнут- Далее, в интересующем нас диапазоне длин волн мы имеем неравенство q < к, где к — вектор обратной решетки, характеризующий размеры зоны Бриллюэна. Следовательно, междузонные переходы, присутствующие в сумме по к, І и V, можно рассматривать как вертикальные в k-пространстве и можно считать, что q = 0. В соответствии со всем сказанным выше и учитывая ортогональность Utk для различных I и Г, мы можем написать
