Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. АНАЛИЗ ДАННЫХ ПО ОТРАЖЕНИЮ
1. СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА - КРОНИГА
Соотношение Крамерса — Кронига, связывающее амплитуду и фазу комплексного уравнения Френеля в случае нормального падения излучения, было впервые предложено и применено Робинсоном [1]. Его метод вычисления оптических параметров был основан на идеях, развитых в теории электрических цепей [28], а именно на дисперсионном соотношении между активным и реактивным сопротивлением. Такого типа дисперсионные соотношения известны во многих областях [29] и часто именуются соотношениями Крамерса — Кронига в честь Крамерса [30] и Кронига [31], впервые установивших существование таких весьма общих соотношений.
Уравнение Френеля для отраженного пучка излучения, падающего под прямым углом, имеет вид
' = ^srf = M*9. (1)
где n~ik — комплексный коэффициент преломления. Измеряемое отражение равно квадрату амплитуды г:
H-IrP - ("-1)2 + ?2 (Ъ
"-In - (n+l)a+/?2 , H
а фазовый угол
9-arctg (3>
лежит в третьем или четвертом квадранте в зависимости от того, больше или меньше единицы сумма п2 + Величины вне обла-
J) В работе [16] приводятся результаты очень точных измерений отражения от тщательно обработанной понсрхпости Ge в области 1—5 эв. Кривые, приведенные в § 5, хорошо согласуются с данными работы [16].108
X. Филипп, X. Эренрайх
стиО б>- — л, отбрасываются, так как коэффициент экстинкции к не может быть отрицательным, фазу б (со0) для любой частоты Wo можно рассчитать на основе данных по отражению с помощью соотношения Крамерса — Кронига между действительной и мнимой частями комплексной функции
Inr=In I г| + й. (4)
Это соотношение, имеющее вид [32, 33],
С / V 1 Г diu Я , I Ю+Шп I J ,гч
Г0' (5)
о
можно проинтегрировать с помощью таблиц [34] или на счетно-решаювіей машине. Выражения (4) и (5) должны быть решены одновременно для того, чтобы получить пик для частоты (O0, а диэлектрическую проницаемость и коэффициент поглощения вычисляют по формулам
е, =
E2 = 2 пк, (6)
2. ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЯ
Расчет точной величины 6 требует, чтобы спектр отражения был известен в бесконечной области частот. Но можно применить простой метод экстраполяции R вне области измерений, так что могут быть получены довольно точные значения пик при условии, что измерения охватывают область ниже края прямых оптических переходов и бблыпуго часть резкой структуры отражения при высоких энергиях. Для многих из соединений A111Bv важные результаты можно получить из измерений в области энергий 1—В эв, если экстраполяция выполнена достаточно надежно.
Экстраполяцию к нулевой частоте легко произвести, если полагать, что Отражение приближается к величине, вычисленной по высокочастотной диэлектрической постоянной, которая обычно бывает известна [35, 36]. Для некоторых кристаллов дисперсия в этой области известна с большой точностью из измерений показателя преломления с помощью метода призмы [37—39]. Кроме того, следует указать, что структурой R, вызванной колебаниями решетки, обычно можно пренебречь, так как она не дает существенного вклада в величину 6 при высоких энергиях.
Экстраполяцию Отражения R при высоких энергиях невозможно произвести, руководствуясь каким-либо простым прави-Гл. 4. Оптические свойства в области фундамент, полосы, поглощения 109
лом, хотя общее поведение его может быть определено при условии, что область, в которой производится экстраполяция, не содержит резкой структуры, характерной для междузонных переходов. Отражение должно быть довольно высоким при энергиях пиже плазменной частоты и быстро спадать при более высоких энергиях [40]. Энергия плазменных колебаний известна для многих кристаллов из экспериментов по характеристическим потерям энергии [41—43] или может быть вычислена по формуле для свободных электронов
...../ -Iw3
где ns в случае соединений группы A[I[BV соответствует четырем валентным электронам на атом. При очень больших энергиях оптические постоянные будут равны приблизительно и я 1, АгяьОибл; — л. Выражение для R можно вывести из асимптотической зависимости диэлектрической постоянной от частоты, и это дает нам выражение [41, 43]
R (<о) = CW"4. (8)
Приняв эти грубые приближения за основу, можно получить более точное количественное описание ]{ в области экстраполяции (при энергиях, более высоких, нем область измерений), если вычислить интеграл для б up и некоторой частоте вблизи края поглощения, где коэффициент поглощения либо равен нулю, либо известен с большой точностью из измерений пропускания [35, 46]. При этой энергии величина б (оУ) фиксируется (причем в области прозрачности она равна нулю), и ее следует приравнять вычисленной величине, полученной интегрированием экспериментальных значений H по области измерений совместно с вкладом из области экстраполяции. Таким образом можно не только определить вид экстраполяции, но и яайти вклад этой области, чтобы можно было получать правильную величину 0 при любой частоте.
§ 4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
1, КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ