Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уэст П. -> "Введение в суперсимметрию и супергравитацию" -> 87

Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.

Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию — М.: Мир, 1989. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievsupermmermarket1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 110 >> Следующая

модели много проще соответствующих аналогов в пространствах большей
размерности и их можно использовать для иллюстрации общих черт
суперсимметричных теорий и техники вычислений, не прибегая к очень
сложным преобразованиям. Но основная причина состоит в том, что эти
модели лежат в основе теорий суперструн в том смысле, что на теории струн
можно смотреть как на двумерные модели, "живущие" на мировой поверхности
струны.
Прежде чем обсуждать возможные модели, мы остановимся на выборе
обозначений и некоторых особенностях двумерной алгебры Дирака. Координаты
двумерного пространства обозначим t,a (а = 0, 1), а спинорные индексы--
начальными буквами алфавита А, В, ... . Читатель должен осознать, что эти
обозначения существенно отличаются от тех, которые использовались для
высших размерностей; причина этого отступления станет ясна,
когда мы напишем уравнения теории струн. Мы вы-
берем метрику в виде т]ар = (-, +), а матрицы Дирака следующим образом:
уЗ = (г'сг1, сг2), где сг1 и сг2 - две из трех матриц Паули. В результате
матрицы ур удовлетворяют соотношению YpYe + YeYp = 2т)рв.
Выберем матрицу у5 в виде
Ys= - YV = (0 _j )• (21.1)
Матрицу зарядового сопряжения С, удовлетворяющую соотношению
СурС~' = -уР, (21.2)
положим равной
Слв=-(_° o) = V. (21.3)
Заметим, что матрицы (СуЗ) и (Cys) симметричны, в то время как матрица С
антисимметрична.
Определим спинор, дираковски сопряженный спинору %л> в виде % = - OC+Y°.
Можно также определить сопряженные
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ
265
спиноры
г=с%, % =С~\- (21.4)
Мы видим, что повторное применение указанной операции "сопряжения"
приводит, как и следовало ожидать, к исходному результату. Во многих
случаях полезны соотношения
YpYV = °> Ya3 = у [y"> Y3] = e^Ys. (21.5)
где eoi = ±1. Наконец, запишем тождество Фирца
1 + Т (vP)cB + у (Yb)/ (YB)cB. (21.6)
Алгебра суперсимметрии с одним суперзарядом QA без связей определяется
соотношениями
{(Qa, QB} = 2 (Vе)лв Рй, {<2Л, Qb) = {Qa, Qb} = О,
1 (21.7)
[Qa, P&] = 0, [Qa, 4p] -у (Yap)/ Qb,
а также соотношениями из группы Пуанкаре.
Можно получить все неприводимые представления такой
алгебры, как мы это делали для четырехмерной супергруппы Пуанкаре. Для
состояний на массовой поверхности, как и раньше, мы могли бы найти
соответствующие законы преобразований суперсимметрии и инвариантные
действия. Приведем результаты такого анализа. Основная модель содержит
поля (А, ха, N), причем все они комплексные. Преобразования
суперсимметрии вне массовой поверхности имеют следующий вид:
б А = е%, Ьх = Ъ А&-\-N г°, 6А = ёсд%. (21.8)
Замыкание алгебры преобразований, действующих на поле А,
приводит к соотношению
{6Ь 62] А = ё2(дАе,+ Ае^-О 2) = (ё2 де1 - (1 -*->• 2)} А. (21.9)
Зависящее от N слагаемое равно нулю, так как матрица САВ антисимметрична,
а параметры е антикоммутируют. Инвариантное свободное действие имеет вид
si- = ¦у \d2l{~ I <3aА I2 - зс h + I N |2}. (21.10)
Полезно построить токи, отвечающие генераторам Ра, QA, и генератор
киральных вращений R. Эти токи даются соответствен-
266
ГЛАВА 21
но следующими соотношениями:
0ар = - д(аА дц)А* + y т]а3 д&А д6А* - -jr % (уад$ + у3да) %,
~ (21.11)
/рл = (<ЗА*у3Х)л, /р8 = XYpX.
Они сохраняются, а также удовлетворяют дополнительным условиям
0аа = О = (у%)л. (21.12)
Указанные условия отвечают существованию новых симметрий, а именно
дилатационной и S-симметрии, с которыми связаны токи |р0ар и (?/а)л
соответственно.
Варьируя токи, приведенные в (21.11), с помощью известных преобразований
суперсимметрии (21.8), найдем, что они образуют супермультиплет
(0ар, /ал, Ubb (21.13)
с трансформационными свойствами
60ар = т "V("1Ч/1 + 4 7(а W 1 %
(обозначения имеют следующий смысл: производится симметризация по
индексам, кроме тех, которые заключены между вертикальными линиями),
6/рл = 2 (у(r)0рбе)л + 4 (<7/р<5,8)л- 6/р<5) = ё/р + /рв. (21.14)
Токи образуют супермультиплет, и это является неизбежным следствием того,
что их трансформационные свойства должны приводить к алгебре
суперсимметрии. Например, взяв в преобразовании
б/ал = (/ал, QB} = (2У60"6 + 4 д/а<5,)4 (21' 15>
компоненту тока с а = 0 и проинтегрировав по g1, получим, как и
ожидалось, соотношение
{Qa, Qb} = 2(V%bP6. (21.16)
Аналогичным образом можно воспроизвести соотношения всей алгебры. Отсюда
ясно, что в любой суперсимметричной теории киральный ток, ток
суперсимметрии и тензор энергии-импульса должны находиться в одном
супермультиплете. Эта особенность впервые была обнаружена в работе [108];
о зависимости между алгеброй и ее токами см. в гл. 20. Читатель,
проверивший равенство фермионных и бозонных степеней свободы в
мультиплете супертоков, найдет, что за пределами размерности 2 муль-
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ 267
типлет в общем случае должен содержать еще другие компоненты.
Полезно рассмотреть различные связи, которые можно наложить на спинор %а,
имеющий компоненты % =
а. Майорановское условие %с = % ведет к соотношениям
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed