Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
/иа = -Ъ (А -- iy5B) у^Ха - Я (Л2 - В2 + 2гЛВу5) YnXa +
+ a2crlivB (Л + гу5В)Ха> (20.54)
У5) = Т г' (ШИ ~ Л<5рВ ~ Т^5^х) •
К тензору энергии-импульса 0^ и к супертоку мы явно добавили некоторые
слагаемые, чтобы улучшить свойства этих объектов. Такие слагаемые с
произвольными коэффициентами тождественно сохраняются, т. е. имеют
нулевую дивергенцию. Выбирая значения а\ =¦ -1/6 и а? = -2/3, получаем
0/ = О, Y% = 0. (20.55)
Как обсуждалось выше, это позволяет определить новые сохраняющиеся токи,
являющиеся моментами тензора 0^- Они фактически соответствуют нётеровским
токам, отвечающим симметриям D, Кр, Jpv и So-
Имея явные выражения (20.54) для токов 0^, /цо и /ц(5)> мы можем
использовать вариации полей при преобразованиях суперсимметрии для
нахождения вариаций токов. Результат вычисления такой же, как и найденный
ранее, а именно
6/У5) = "Yb/ц.
fy'na = (2YV0,xv - i'YbSjJ5) + у Sp,VK%\Vdnj% (5)) 6a, (20.56)
60,v = - у (ecT^d^f + ёаукдх^).
Этот супермультиплет токов реализует неприводимое представление не только
супергруппы Пуанкаре, но и более широкой суперконформной группы.
Преобразования, соответствующие ди-латациям, и специальные конформные
преобразования полей теории имеют обычный вид, а преобразования,
отвечающие симметриям Sa, аналогичны преобразованиям суперсимметрии, но
вместо параметра еа фигурирует (xrj)a, т. е. 6-М = -цх%. В то время как
обычные преобразования суперсимметрии включают производные полей,
преобразования S-суперсимметрии содержат дополнительные слагаемые,
пропорциональные rj, т. е. 6sx = = [в + iybG + д(А + гу5В)] (гп) + 2(А +
/ysB)^. Можно проверить, что соответствующими токами являются как раз
моменты 0ц и /ца, о которых говорилось выше.
258 ГЛАВА 20
К действию модели Весса - Зумино со взаимодействием (20.52) можно
добавить пуанкаре-суперсимметричный массовый член
J d4xm(AF + GB-yXx)- (20.57)
Теория теперь не инвариантна относительно дилатаций D, конформных
киральных преобразований R, специальных трансляций Кц и преобразований
суперсимметрии Sa- При этом имеем
d'-V = <5" (*/Л = (у\)а Ф 0, ,оп ...
аЧхчи-е^о { ]
и аналогично д*Ч'ц(5) ф 0.
Нётеровские токи имеют вид
(20.59)
где 8ф- вариация поля ф, отвечающая соответствующему преобразованию
симметрии. Лагранжиан, вариация которого равна 8L = d'xkVL, получает
теперь вклады, пропорциональные массе т, что ведет к киральному
мультиплету аномалий:
0/ = -т [(л2 + в2)] - - J- гъ <3V5) = +* т (X1V5X2), (20 60)
у • j - 2m (Л - iy5B)%, P - m(A2 - B2), Q - 2mAB.
Мультиплет токов преобразуется в соответствии с (20.27).
Мультиплет супертоков можно записать в терминах суперпространства:
^а = -т°лФ°аФ-гФ'^Ф' <2(Ш>
<--> ->
где д = д - д. Читатель может проверить справедливость равенства
dAjaA-~ fD^2' (20-62)
20.3. Токи в \N = 1)-суперсимметричной
теории Янга - Миллса
Поскольку теория содержит в качестве физических полей только Лц и ХА
(Ад), ^-преобразования могут действовать лишь
на спиноры, и, следовательно, киральный ток может иметь вид
только
/,5)Д)=?"Л- (20.63)
токи В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ
259
Суперток, имеющий в качестве низшей компоненты j(5)AA , должен тогда
иметь вид
'ал=*л*А- (2°.64)
Читатель может убедиться, что в классической теории токи образуют
суперконформный мультиплет, т. е.
DaJaX = -WaDa\Va + (DaWa) Wл = 0. (20.65)
Это утверждение следует из связей
D&WA = 0 (20.66)
и классического уравнения движения (т. е. вспомогательное
поле D = 0)
DaWa = 0.
20.4. Квантовые аномалии
Как хорошо известно, даже если теория конформно-инвариантна на
классическом уровне, квантовые поправки в общем случае могут нарушить
конформную инвариантность. Это является следствием перенормировки; для
регуляризации расходимостей приходится вводить некоторый масштаб, чтобы
теория имела смысл. Следовательно, находим, что вследствие квантовых
поправок след тензора 0|xv может стать отличным от нуля. Например, хорошо
известно, что в безмассовой КХД [166]
V = -&7L(+t/,2^v)- (2°. 67)
где |3(g)-|3-функция Каллана - Симанзика. Другая симметрия, часто
нарушаемая квантовыми поправками, - инвариантность относительно -^-
преобразований. В суперсимметричных теориях расходящаяся часть кирального
тока и тензор энергии-импульса с ненулевым следом часто принадлежат
одному и тому же мультиплету аномалий, и, таким образом, мы ожидаем, что
суперсимметрия будет связывать друг с другом аномалии, порожденные
квантовыми эффектами. Примером могут служить квантовые поправки к (N =
1)-теории Янга - Миллса. Напомним приведенное в разд. 20.3 выражение для
супертока
= (20.68)
Полагаем, что в квантовой теории 0^ Ф 0 и (или) ^М..Д1(5> Ф 0, поэтому в
суперпространстве имеем уравнение
ZWu =Na. (20.69)
260
ГЛАВА 20
Правая часть этого уравнения, т. е. NA, образована из поля WA{WX).
Суперполе WA имеет размерность 3/2, а размерности и Na должны быть 3 и
7/2 соответственно. Если это киральный мультиплет аномалий, то NA = DAS,
где D^S = 0, а размерность S равна 3. Очевидно, что единственным
