Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уэст П. -> "Введение в суперсимметрию и супергравитацию" -> 82

Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.

Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию — М.: Мир, 1989. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievsupermmermarket1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 110 >> Следующая

получить, что генератору трансляции Рд отвечает ток 0UV, который является
симметричным и бесследовым тензором, а другим генераторам отвечают токи,
которые могут быть выражены через 0UV с помощью приведенных выше
уравнений. Этот результат основан на следующих соображениях. Токи,
генерирующие такие заряды, должны:
а) принадлежать представлениям конформной группы,
б) иметь трансформационные свойства, приводящие к правильной алгебре в
том смысле, как это обсуждалось выше.
Представления конформной группы известны. В частности, они могут быть
построены на основании теории индуцированных представлений. В этом случае
используется фактор-пространство вида
конформная группа (* D, Кр) '
ТОКИ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ 249
Это пространство четырехмерное и содержит хорошо известные преобразования
группы Пуанкаре пространства Минковского. Исходя из любого представления
величин Jpv, D и Кр, мы можем построить представление всей группы.
Приведем теперь простой метод получения результатов действия генераторов
на поля, принадлежащие этим индуцированным представлениям [161]. Действуя
на поля в начале координат, генераторы (Jpv, D, Кр) образуют
представление группы. Мы принимаем, что действия этих генераторов имеют
следующий вид:
7^(0) = Dj> (0) = (0), Крф (0) = /г^ф (0), (20.15)
где - матричные представления генераторов JpV, отвечающие спинам
рассматриваемых полей ф, А- масштабный вес. Из равенства [7^v, D] = 0
следует
[А, 2] = 0, (20.16)
если 2--неприводимое представление, а из леммы Шура мы должны сделать
вывод, что А - числовой множитель. Тензор kp обычно не встречается в
приложениях, но мы сохраним его для полноты. Поле в произвольной точке х
дается формулой
ф (х) = ехр (х"Рр) ф (0).
Действие любого генератора S принимает теперь вид
Бф (х) = ехр (+ х^Рд) ехр (- х^-Рд) 5 ехр (х^-Рд) ф (0) =
= ехр (л*Рд) {S + [S, ^PJ + | [[S, л^Рд], хуРу] + ... } ф (0).
(20.17)
Оно может быть вычислено с помощью только групповых коммутационных
соотношений и соотношений (20.15). Например, для генератора дилатаций
имеем
Бф (х) = ехр (хмРд) [D - хмРд] ф (0) =
= ехр (х^Рд) [А - хирд] ф (0) =
- Аф (х) - х^Р^ф (х) = - х^дщф (х) + Аф (х). (20.18)
Для генератора Кр находим
Крф (х) = {2х^худу - х2<5д) ф - ХрАф - 2ху\уф + k^ф. (20.19) Лоренцевы
вращения принимают стандартный вид:
hнф (0) = ехр (х^Рд) (2ри + [Jpw х^Рд]) ф (0) =
== С^ри "Н Хр(?к)) ф (х).
250 ГЛАВА 20
Применяя этот подход к 0|xv и выбирая подходящую лоренцеву матрицу 2|xv,
найдем
60дV Кр^р,\ (0-^рuv <tyW 2АХр0д^
- 2х* (tipk0|xv - Ли|х(r)ру + ЛрАх - пДр), (20.20)
где А - масштабный вес тензора 0^.. Мы опустили слагаемые, содержащие kд,
согласно замечанию, сделанному выше. Учитывая закон сохранения du0|xv =
0, получаем
± (2А - 8) (0pV + 0vp) + у [0pv - 0VP] - 2лР А* = °- (20-21)
Выбирая масштабный вес А тензора 0|xv равным -4, получаем соотношения
0pv-0vp = O = 0/. (20.22)
Остается только показать, что токи, отвечающие JpV, D и Кр, являются
соответствующими моментами тензора 0,хГ. Рассмотрим коммутатор Pv и Кр'
[Pv, Кр] = [ jj d3x%v, ЛГр] = ^ сРх (2xpxTdT0Ov - х2др0Пу -
- 2Axp0Ov + 2хиг1рО0от - 2xo0pv + 2хиг1р^0и - 2xv0Op). (20.23)
Интегрируя по частям и используя сохранение тензора 0pV, находим
[Ру, Кр] = + 2т]vpD - 2JyP, (20.24)
где генераторам Jvp и D соответствуют токи, которые являются моментами
тензора 0^ и представлены в уравнениях, приведенных выше. Ток, отвечающий
генератору Кр, можно получить, рассматривая коммутатор [7^, -Кр] - Таким
образом, мы пришли к результату, которого ожидали: генератору Рр,
отвечает ток 0^., представляющий собой симметричный сохраняющий тензор;
всем другим генераторам D, Кр, /(xv отвечают соответствующие моменты
тензора 0^.
Следовательно, структура токов для пространственно-временных групп
сложнее, чем в случае групп внутренней симметрии, для которых имеется по
одному независимому току для каждого генератора.
Имея в виду приведенное выше обсуждение, рассмотрим группу (N = 1)-
суперсимметрии с генераторами Pp., Qa, R и JpV. Токи, отвечающие Рр, Qa и
R, - тензор 0^ (симметричный), jpa и /д(r) соответственно. Как и раньше,
генератору JpV соответствует ток, являющийся моментом тензора 0|xv
(20.9). Рассмотрим теперь соотношение
{Qa. QB} = +2(v-C)apPv. (20.25)
ТОКИ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ 251
Перепишем его в следующем виде:
5 d3x {Qa, /оэ> = 2 (YvC)ap 5 d3x%v, (20.26)
так что вариация /,хр должна иметь вид
Kkfi = 2 (vVC)aAv + аХ"а", (20-27>
где jRnpa.fi = -Rppa.fi- Последнее слагаемое при р, = 0 после
интегрирования по переменной ^ d3x должно обращаться в нуль,
поскольку оно не дает вклада в соотношение (20.26). Не очевидно, что оно
должно иметь именно такой вид, как в (20.27), но обычно это так для
величин, которые ведут к сохраняющимся зарядам.
Аналогично из соотношения
[Qa, ?]=*'(Y5)aPQP (20.28)
следует
4k(5) = * Ша /не + (20.29)
где Rixva = -Rvно- Таким образом, мы получили, что токи /н(5), /на и 0^
должны принадлежать супермультиплету.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed