Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
(17.31)
(17.32)
16(Э2 (О2 - от2) 4 (д2 - от2)
Амплитуда перехода вакуум - вакуум для свободной теории имеет вид
2-о I/] = ехР { - 1 J d*z [/ / +
. 1 /- отР2 - , .
' 2 V 402 (д2 - от2) 1 ' 1
mD2
402 (а2 - от2)
у)]}. (17.33)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ СМ-1 185
Для этой свободной теории производящий функционал связных функций Грина
равен
4^0 [Л - \ [/ / + y! uj- (d2"- ms) : +
+ T' Ф <1M4)
Следовательно, единственными ненулевыми связными функциями Грина являются
двухточечные функции, для которых, используя уравнение (17.16), находим
(ф(1)ф (2)) = (0 ! Тф (1) Ф (2) I 0) = + . (17.35)
(ф (1) ф (2)) = (0 1 Тф (1) ф (2) ] 0) = + ± ~ Uf2)~ . (17.36)
Выделяя в равенстве (17.35) (0) = 02 = 0)-компоненты, находим обычный
результат в х-пространстве:
(01 Tz (1) г (2) | 0) = 64 (х, - х2). (17.37)
Применение ковариантных производных позволяет получить выражения для
высших компонент. Действуя на пропагатор операторами Dax, D$2 и выбирая
0t == 02 = 0, получаем
т|т.. /1Ч.. ,ЛЧ1пЧ , *• n Dp62D22612 2 (д{)А.Ь\хх-х2)
Ф\Т%А{\)%6 (2)|0)-+ 16 DM (д2_т2^ d2 - m2
(17.38)
Наконец, найдем пропагатор для вспомогательных полей
1 i Мд2
<0|H(l)f(2)|0)=. + T-1?-
(17.39)-
Напомним, что / = - у (02ф) (0 = 0).
Модель Весса - Зумино с взаимодействием имеет вид,
(17.10), где
186
ГЛАВА 17
Следовательно, необходимо вычислить члены типа *5int(||,)[/i(1)-//(2)-
i7(3)] =
= + -§ J d\x4d% [t; (1) • ij (2) • ij (3)] =
= + a 5 - ^-6I4} { - -^ 624 } { - h- 634 } =
= + a 5 d*zA< { - -г- Й24} { - -T- ^ • (17-41>
Анализируя выражение (17.41), приходим к выводу, что при формулировке
фейнмановских правил имеется возможность выбора. Мы можем сопоставить
каждой вершине интеграл по переменной cPQ, например интеграл в
предпоследней строке выражения (17.41), и считать, что пропагаторы заданы
равенствами (17.35) и (17.36). Множители D2 появляются в результате
функционального дифференцирования. Но предпочтительнее использовать
последнюю строку выражения (17.41) и сопоставить интегрирование по d4Q
каждой вершине, следовательно, исключить множитель D2 в одном из трех
пропагаторов, выходящих из вершины. Мы примем этот последний подход.
Перейдем в импульсное пространство, выполняя преобразование Фурье
Ф(х) = \ W-<17-42)
и полагая, что соответствует полю с импульсом -\-k, вы-
ходящим из вершины. В результате действию оператора idр. на функцию ф(х)
в импульсном пространстве соответствует произведение так что
действие ковариантных производных
DA<j>(x) и Б^ф(х)в импульсном пространстве имеет вид
°аФ (Ь) = { - ЮлЛ } Ф (*). (17-43)
°аФ'{k) = {^ } ф w ¦¦ (17-44)
При этом антикоммутатор двух ковариантных производных равен
{Da, DA}t(k) = -2(o")AAkJ(k). (17.45)
Поскольку
b*{zx-z2)=\-^e-lk^-*W{Qx~%), (17.46)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N - 1 187
в результате действия оператора DA на 8s(2i- z2) получаем
D1A6* (0! - 02) = (^А - КДл^Ч) 64 (01 - 02) = - 1 - 02),
(17.47)
подразумевая наличие множителя б4(л;1 - х2). В последнем равенстве
(17.47) мы воспользовались тем, что в импульсном пространстве
= ¦ 07.48)
При действии операторов на 612 этот результат соответствует нашему
соглашению, что импульс k направлен из точки, отмеченной цифрой 1, в
точку 2.
Правила Фейнмана для суперграфов в импульсном пространстве таковы:
I. Пропагаторы можно найти, переходя в полученных выше уравнениях к
импульсному представлению. Они имеют вид
"¦( 1)?(2)>=?^г",1. (17.49)
<"(1Ж2)>= С7.50)
II. Вершины содержат множитель IX (или эквивалентный множитель,
извлекаемый из действия S), а также множитель -'ДD2(-'ЛD2) для двух из
трех (или в общем случае для п-1 из п) киральных (антикиральных) линий.
Если одна или более линий являются внешними, то приписываем вершине
множитель -'ДВ2(-l/iD2), соответствующий каждой такой линии.
III. Сопоставляем интегрирование
я! [ rf4fe каждой независимой
J (2я)4 петле,
б) П S й'(2луШ~ 6 ( Y Рвнеш) внешним импульсам,
Рвнеш ^внеш '
в) ^ <740верш каждой вершине.
IV. Наконец, имеются комбинаторные множители в обычном пространстве1).
Происхождение этих правил очевидно из приведенного выше обсуждения.
Пропагаторы образуются из свободных пропага-
¦) Они приведены в работе [201]. Их можно вычислить с помощью (17.11)-
(17.13). - Прим. ред.
188
ГЛАВА 17
торов без множителей D2(D2). Множители B2(D2), упоминаемые в п. II,
следуют из киральной функциональной производной. Устранение одного из них
требуется для того, чтобы превратить вершинный интеграл по 0-пространству
в полный интеграл по суперпространству (см. (17.1)). Внешние линии не
содержат дифференцирований, так что мы должны убрать лишние множители
D2(D2).
Эти правила приводят к производящему функционалу Z[j), из которого можно
вычислить связные функции Грина.
Приведенные выше правила можно переформулировать для евклидова
пространства. Переход к евклидову пространству эквивалентен развороту
Вика, который конкретизируется заменой т2-+т2 - ге в пропагаторах.
Определим хЕ = {х±, х), где л4 = ix0. Отсюда следует
