Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
R = Ga6=0.
Тензоры размерности 3/2 могут включать при 0 = 0 выражение дф со спином
3/2, поэтому не все они равны нулю. Единственными ненулевыми тензорами
являются TmnA, RArmn и Rstmn и, конечно, ТАВп - - 2i(on)AB. Однако, как
мы теперь покажем, приведенных выше связей (16.117) - (16.119) достаточно
для полного определения теории. Первое нетривиальное тождество Бьянки
размерности 3/2 имеет вид
I .С _______ ПТ.С_]_Г Ft . С л_ п .с'_1_п.т С Т. Ft С ____
nBD п BD ' пВ FD < КnBD ' ы D1 пВ 1 Dn 1 FB
- *Ъпв6 - DBTbn6 + TBbpTPae + RBiuc = 0. (16.120)
Используя приведенные выше условия, его можно упростить и привести к виду
-2i(om)BbTmf-RnBbd = 0. (16.121)
Свертывание по индексам О и С приводит к уравнению
ЮвЬГт/ = °. (16.122)
Как будет показано немного ниже, это не что иное, как уравнение Рариты -
Швингера.
174
ГЛАВА 16
Уравнение для поля спина 2 должно иметь размерность 2 и содержаться в
тождестве Бьянки
IВтпЛ - ОдГтпА + ТBmFTFnA "f" ЯвтпА - DпТBmA -f- ТпВТpmA +
+ RnBnA - DmTnBA + TmnFTFBA + RmnBA = 0. (16.123)
Использование связей приводит к соотношению
-DBTmnA + RmnBA = 0. (16.124)
Умножая последнее соотношение на матрицу (от)ВА, находим ЮвА^вТтпл = 0 =
RmnBA (ат)ёА. (16.125)
Воспользовавшись тем, что RmnBA =- 1 /iRmrf4(<ypq)вА, получаем уравнение
^(пл 2* 4mnR == 0,
ИЛИ
Rmn = о, где Rmn = Rmsn• (12.126)
Теперь мы покажем, что это уравнения полей со спином 3/2 и 2. Компоненты
суперполей Еип и Е^А при 0 = 0 обозначим следующим образом:
V(0 = °) = C> V(0 = °)=tV- (16-127)
На данном этапе вычислений эти выражения служат просто определением полей
и гр,/. Используя калибровочную инвариантность, можно исключить (0 =
0)-компоненты суперполя
ЕАп, выполнив соответствующее общекоординатное суперпреобразование.
Поскольку
бЕ/ (0 = 0) = 1ядяЕлп |е_о + дл?Еяп |9_о = ...
+^V+ (16-128)
очевидно, мы можем выбрать <ЗДч так, что ЕАп = 0. Аналогично можно
выбрать
?/ = б/, Е/ = б/, Е/ = 0. (16.129)
В результате получим
( С jv tV ^
Яят(0 = О)= Об ВА О Г (16-130)
V о о бhA )
(16.134)
ФОРМУЛИРОВКА (А - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 175
Спиновую связность Qnmn при 0 = 0 определим следующим образом:
цл1 (6 = 0) = V". (16.131)
Воспользовавшись преобразованием Лоренца, получим
Qamn (0 = 0) = 0. (16.132)
Положив 0 = 0, найдем
Т^А = - -j дцф/ + - (I1 v) = - . (16.133)
где
Фц/ = - (ц v),
ДцФ/ = дцФ/ - ^vBW".BA.
Здесь мы использовали равенства
V = W = (16.135)
Кручение со всеми индексами касательного пространства мож-
но выразить через Т^А с помощью соотношения
Т^А (0 = 0) = EJ* (0 = 0) EVM (0 = 0) Tnma (0 = 0) ( \)nm _
= e*eJnTaJ{Q = V), (16.136)
где мы использовали связи ТВпА = Т всл = 0. Следовательно,
0 = (,Jm)AhTmne (0 = 0)--4- (em)Ahen"en^J, (16.137)
и мы узнаем уравнение Рариты - Швингера.
Чтобы вывод уравнений поля спина 2 и 3/2 был строго последовательным,
необходимо показать, что wamn является спиновой связностью, выраженной
через еап и ip,/. В действительности это следует из условия Tnmr = 0.
Заметим, что
7V (0 = 0) = - дие/ + - (и v). (16.138)
С другой стороны, имеем
V (0=0) = Е/ (0 = 0) EVM (0 = 0) TNMr (0 = 0) (-1)^ -
- 1 фц V*7V (0 = 0)- (0 = 0) =
= + T^vB (аГ)лвФ/ - (И v). (16.139)
176 ГЛАВА 16
Поэтому находим уравнение
"WV ~ ~ (Iх ^ v) = + Т %Ь (°")аа V - (и v),
(16.140)
которое можно решить и получить правильное выражение для
^цят-
С уравнением для поля спина 2 следует поступить аналогичным образом:
R^mn (0 = 0) = + vo(tm)VDwn - (Р - V). (16.141)
Однако имеем
R^nm (0 = 0) = Е/ (0 = 0) EVM (0 = 0) RNMmn (0 = 0) (- \)т" =
= VVV" <9= °>+т 0V<Rh"" +
+ W КлГ (в - о) - (ц - V)). (16.142)
Поле RApnm можно найти из тождества Бьянки 0 = ^Апг- ДдТ'п/ + ТЛпРТр/ +
RAnrs (r)гТап + ТгАрТРп* +
+ RrAn - DпТГА + Tn/TFAS + Rnr/- (16.143) Используя связи, найдем
*Апг* + КгАп'= + 2 iTJ^AB- (16.144)
Из (16.137) следует уравнение
RAnr + RrAnS = - i {°s)abW%°. (16.145)
Умножая соотношение (16.142) на evm, получаем ет^пт (0 = 0) = RJ =
e^Rpmnm +
+ T(V*^" + V"A,"")- 06.146)
Тогда уравнение (16.145) дает
elxPRpmnm = V - (у V ^П)Авет^еПХ\хЬ + ЭРМИТ- С0ПР-)-
(16.147)
При этом уравнение (16.126) {Rmn - 0) становится уравнением (N = 1)-
супергравитации для поля спина 2, которое стоит в левой части (16.147).
На первый взгляд кажется, что задача далека от завершения, так как надо
еще проанализировать все остальные тождества Бьянки и доказать, что они
не ведут к противоречиям. Но
ФОРМУЛИРОВКА (А - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 177
можно показать, что другие тождества Бьянки удовлетворяются автоматически
[70,81].
Этот метод можно использовать для построения любой теории супергравитации
на массовой поверхности. Единственная новая особенность - появление
скалярных полей в случае N ^ 4. К счастью, эти поля всегда возникают в
фактор-пространстве, которое можно представить в виде: группа G/группа Я.
Это значит, что на них реализуется алгебра суперсимметрии с элементами
Рип и Qu', где
(Hi - генераторы группы Я, a Ki - остальные генераторы). Поскольку
