Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
дано в работах [6, 76]. Следуя и далее этому способу вычислений, мы
найдем, что связи ведут к первоначальной минимальной формулировке
супергравитации. Зная решение связей в терминах Нд, можно выразить
ФОРМУЛИРОВКА (N - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 171
действие, а также ненулевые компоненты кручения и кривизны через Н^.
Следовательно, мы получим отдельные компоненты кручения и кривизны,
выраженные через е^п, г]зм,л, М', N' и Ь^.
Для нахождения компонентных полей в х-пространстве в контексте "решения
тождеств Бьянки" следует сначала в этом пространстве идентифицировать
независимые компонентные поля, содержащиеся в суперполях R, GAB и Wдвс =
W(ABC), учитывая связи (16.100). Все эти независимые поля можно получить,
вычисляя компоненты суперполей ТтпА и Rmns при 0 = 0, не рассматривая (0
= 0) -компоненты R и GAB. Обозначим компоненты суперполей R и GAB при 0 =
0 через М + iN и Т°гда найдем, что ТтпА и Rmnrs при 0 = 0 можно выразить
через Ev,n(Q = 0)=е11п(х) и Е^А (0 = 0) = у ф,/, а также М, N и 6ц.
Следовательно, суперполя R, GAB и WАВС,
а также кручение и кривизна содержат компонентные поля е^п, фд4, М, N и
Ьц в х-пространстве. Детали вывода этого утверждения можно найти в конце
следующего раздела.
Докажем теперь один из результатов, который использовали выше.
Лемма [88]: J dazEDNVN (-1)" = 0.
Доказательство: ^ dbzEENKdxVN (-1)^ =
= J dszVN (- E^dxE -(-if (Л+Л03л?/) =
= J d8zVN (?/ (длЕмп) ЕпМ (~1)М-- {-l)NMEMXdAENnEnM(-l)M) =
= \dazVNT"MM(- 1)м = 0.
Последнее выражение обращается в нуль, поскольку выполняются условия
V = ° и ТпАА + Тпа'А = Ъ.
16.4. Вывод формулировки супергравитации s суперпространстве из
формулировки в х-пространстве
В этом разделе мы получим связи в суперпространстве, а также другие
результаты на основе известной формулировки супергравитации в х-
пространстве.
172
ГЛАВА 16
А. Поля на массовой поверхности
Любая теория супергравитадии на массовой поверхности, т. е. когда поля
удовлетворяют уравнениям движения, может быть построена только на основе
известного числа состояний частиц данного спина на массовой поверхности.
Такую теорию можно получить, записав в A-пространстве линейные уравнения
движения для свободных от духов полей, однозначно соответствующие каждому
из состояний на массовой поверхности, а затем учитывая взаимодействие с
помощью нётеровского метода (см. гл. 9). Это длинная процедура. Результат
проще всего получить с помощью формулировки в суперпространстве,
используя размерный анализ и, конечно, баланс состояний с определенными
спинами на массовой поверхности. Проиллюстрируем этот порядок действий
для (N = 1)-супергравитации.
Состояния на массовой поверхности представлены полями hytvihfxv = hvv.) и
калибровочные преобразования которых
имеют вид
= d^v + <3v?n, 6фца = <Vv (16.115)
Мы опустили нелинейные члены, так как важна только общая структура.
Геометрическая размерность поля huv нулевая, а поле имеет размерность
1/2. Калибровочно-ковариантные объекты низшей размерности имеют вид
<3ф и ddh; (16.116)
их размерности равны 3/2 и 2 соответственно.
Рассмотрим теперь суперкручение и суперкривизну; эти суперполя при 0 = 0
должны соответствовать ковариантным величинам в A-пространстве. Если нет
таких величин, то соответствующий тензор должен обращаться в нуль при 0 =
0 и, следовательно, во всех порядках по 0. Единственными тензорами
нулевой размерности являются Т АВп и ТА^п. Ковариантные величины нулевой
размерности отсутствуют, кроме постоянного тензора (оп)АВ. Следовательно,
необходимо заключить, что
V* = 0. ТлвП = с(оп)АЬ, (16.117)
где с - постоянная. Мы выбираем сф 0, чтобы получить согласие с теорией,
использующей формулировку глобального суперпространства. Из
действительности тензора ТА-Вп следует, что с - мнимая постоянная, а из
условия нормировки находим с = -2 i.
Поскольку в A-пространстве ковариантных тензоров размерности 1 /2 не
существует, имеем
т.с т с т п п
1 АВ 1 АВ 1 Ат и-
(16.118)
ФОРМУЛИРОВКА (А - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 173
Ковариантных тензоров размерности 1 в A-пространстве не существует. Это
было бы не так, если бы имелась независимая спиновая связность w^rs,
поскольку при этом величина де + + w + ... должна быть ковариантной. Если
связность Юр/5 не является независимой величиной, она может быть выражена
через е^п и фиа таким образом, чтобы приведенная выше кова-риантная
величина размерности 1 обращалась в нуль. Следовательно, для зависимой
спиновой связности, т. е. в формализме второго порядка, имеем
Tj = TJ = RAr = 0 = RAhm\ (16.119)
Другими словами, все компоненты кручения и кривизны размерности 0, 1/2,
1, за исключением Т АВп = - 2/ (вп)АВ , равны нулю.
Сравнивая этот набор связей со связями супергравитации вне массовой
поверхности, приведенными в разд. 16.2 или ниже в этом разделе, мы видим,
что дополнительные связи имеют вид ТпАв = ТпАв = 0 = Rabab. В терминах
суперполей R, W[АВС) и GAg это эквивалентно равенству
