Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
= (r) означает, что
О = W + ТтА с (- 2ion)hc - Тёпс (- 2iam)CA. (16.85)
Умножая это выражение на матрицы (ат)с-с и {on)D-D и переходя, таким
образом, к спинорным индексам, находим
RaBCCDD ^ТСс AD^DB ^TCcBDZbA~(r)' (16.86)
Свойства лоренцева тензора RpQmn позволяют выразить его через Rpqab и
Rpqab. Рассмотрим тензор
RpQCCD^ = RpQm (ат)сс (а")дД. (16.87)
Заметим, что симметризация по индексам С и D автоматически приводит к
антисимметризации по С и D. Тем не менее имеем
((r)т)(с | С D) D tl) 8^^ {с>тп)сО'
в то время как
(°гт)с (С | (°Г")д 1 D) ' П) ^ ^CD^mn^C D' (16.88)
следовательно, в итоге для тензора кривизны получаем
RpQCCDD= 2'BCD^PQm (amn)cD ~2 eCD^PQm ((r)mn)cb =
= 2SqPRPqcd "Ь ^cd^pqcd • (16.89)
Разложим теперь ТпА° на неприводимые относительно группы Лоренца части
Тсс Ad = &CDeC А1 ~\2 &CD^(CA) + 8СЛ^(СД) + ^(СД)(СЛ)' (16.90)
Подстановка соотношений (16.89) и (16.90) в (16.85) и умножение на gOD
gCD дает
T(tAi = 0. (16.91).
168
ГЛАВА 16
Симметризуя по индексам DC и умножая на еСА, получаем
^DBCD~^ ^S,DB^'(CD)~^ ^^(СО)(Ьв)~^> (16.92)
откуда следует T{Cd) = 0.
Симметризуя по индексам CD и антисимметризуя по CD, имеем
Rdbcd ^^(CD)(DB) ~ 0- (16.93)
Сравнивая соотношения (16.92) и (16.93), находим
RAbcd~(16.94) 7'(СД)(л") = 0- (16-95)
Тогда тождество Бьянки приводится к виду
^Ав CD ~ "б" (е?> ВВсЛ ~b BCB В?>А ) R > (16.96)
таким образом, получаем
ТCCAD = ~\2 ^bcdecaR • (16.97)
Анализ можно продолжить, придерживаясь той же последовательности
вычислений, но он длинен и несколько утомителен. Основной результат [78]
состоит в том, что все компоненты кручения и кривизны могут быть выражены
в терминах трех суперполей и их спинорных производных. Эти суперполя -
приведенные выше поля R, а также GAB и W{ABC). Суперполя дАВ и WАВС
выражаются через суперкручения следующим образом:
ТCCDE = ~4 (^CE^DC 6bcdG?(a 3bB?GC(o),
Т ААВВС ~ ZAb(W ABC ~2гАС^Е^ЕВ (16.98)
2 гВС^Е^Ек) + &АВ ^(В^С)А'
где
Т . Е - (ап) . Т Е 1 CCD Iй >CCl nD '
ТссооЕ = (^)сс^П)ооТптЕ. (16.99)
Эти суперполя удовлетворяют следующим связям:
од/Г = о, daw(ABC) = o, d*gab = -±dart
^AW{ABC) = 1 + ^CD^B^)'
поле Gn действительно: GAB =(<yn)ABGn = (^GBAy.
(16.100)
ФОРМУЛИРОВКА [N = 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 169
Как уже говорилось выше, в соответствии с соображениями размерности
действие простой супергравитации имеет вид
-%r\d*zE, (16.101)
где E - detEnN. Поскольку на супертетрады наложена связь, форма уравнений
движения не очевидна. Однако можно показать [80], что из этого действия и
связей в суперпространстве (16.76) следуют уравнения
R = GAb = 0.
В следующем разделе будет показано, что это действительно правильная
форма полевых уравнений в том смысле, что они ведут в х-пространстве к
уравнениям движения (N = 1) -супергравитации.
Взаимодействие супергравитации с киральным полем материи ф,
удовлетворяющим условию
ВАф = 0, (16.102)
имеет вид
\d8zEKW, ф), (16.103)
где К - производная функция, разложение которой имеет вид К{Ф,Ф) = ФФ +
¦¦¦ ¦ Члены взаимодействия строят, используя киральную плотность [80]
E = -Ld2(^), (16.104)
в виде
\d4xd2QE }(ф), (16.105)
где f-аналитическая функция поля ф. Инвариантность этого действия
устанавливается следующим образом. Функция f ки-ральная, поэтому она
может быть записана в виде
/(^) = (D2-i-r)t/, (16.106)
где U - произвольное суперполе. Выражение
~Y\d8zEU (16.107)
инвариантно, и его можно записать в следующем виде:
-\d8z-^D2U+\d8z-^fW=\d4xd2QEfW). (16.108)
170
ГЛАВА 16
Первое слагаемое обращается в нуль, так как имеет форму дивергенции, т.
е.
\dazEDAVA = 0. (16.109)
Это следует после интегрирования по частям и использования связей,
накладываемых на кручение (см. конец этого раздела).
Введение полей Янга - Миллса производится так же, как в случае теории с
глобальной суперсимметрией. Мы рассмотрим суперполе V, калибровочное
преобразование которого имеет вид _
eV' = eAeVe-At (16.110)
где А - локально-киральное поле: D^A = 0. Ковариантная напряженность поля
равна
WA=--{b*-±R*){e-v'DAev). (16.111)
Поскольку поле WA кирально (Од1^л = 0), соответствующее действие [80]
имеет вид
Л = ~64Ca~(G)g2 S ТГ ^Л Wa' (16Л12)
Взаимодействие с материей задается функционалом
\d*xd*Qtev4>. (16.113)
Альтернативным подходом к построению теории супергравитации является
решение связей [76]. Это довольно сложная процедура. После выполнения
соответствующих калибровочных преобразований, устраняющих определенные
суперполя, мы найдем, что все тетрады и спиновые связности могут быть
выражены через одно суперполе Нц. Если компоненты суперполя обозначить
(С,л, М^, N^, е^п, by), то калибровочную ин-
вариантность, которой обладает данное суперполе, можно использовать для
исключения полей Сц и ?ц. Поля Мц, и Nц преобразуются следующим образом:
бм1Х=а2е|Х-а1ХаЧ> = (16. и4)
что гарантирует их появление в действии в виде диМа = М' и dvNv = N'.
Остальные калибровочные преобразования представляют собой обычные
преобразования полей е^п и фц". Детальное обсуждение разрешения связей
