Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
представления в суперпространстве анти-де-Ситтера (16.47) и (16.48) обоб-
ФОРМУЛИРОВКА [N - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 161
щались на случай локального суперпространства. Так как одним из таких
представлений является киральное представление DA<f> = 0, мы получаем
ТАВп = ТАВс = 0. Из линейного представления нельзя получить какие-либо
новые связи, поскольку определяющее его условие содержит производную со
свернутым индексом. Другие киральные представления на самом деле не ведут
к новым связям [57]. Это следует из того факта, что стандартные связи и
связи ТАВп = ТАВс = 0 в сочетании с тождествами Бьянки (см. следующий
раздел) приводят к условиям
RaBCD - -Q (eACeBD + ZBCZAD)
Kabcd = V> IV? = 0. (16.55)
Проекторы (16.54) обобщаются на локальное суперпростран-ство следующим
образом:
/ (D/-'Ml+P/2)") ,1Сее,
nL (Р, q)=--------(l + p)RI3 • <16-53>
, , , (DAl>A + (p/6)R) /lfiKT4
Пс(Р' ?>= + ¦ (1+^/3 (16'57>
Условия (16.55) достаточны для того, чтобы такие проекторы также
удовлетворяли соотношениям (16.54). Эти проекторы построены таким
образом, что представление локальной суперсимметрии удовлетворяет тем же
определяющим условиям, что и для проекторов (16.49) и (16.50), с
точностью до замены Das-+Da.
В качестве примера, иллюстрирующего использование проекторов, рассмотрим
суперполе ф без спинорных индексов. Ки-ральная и линейная части этого
суперполя даются соответственно уравнениями
В2ф = 0, (16.58)
(D2 - Д/3) ф = 0, (16.59)
где D2 = ОлОл.
Эти условия можно упростить так же, как в случае пространства анти-де-
Ситтера. Рассмотрим соотношение
DaD2Ф = {Da, Db} dвф - dbdadвф =
= VBcDcVDB(-Y^). (16.60)
Здесь учтена связь ТАВЫ = 0. Используя (16.55), находим
ВАВ2ф = + ±яиАф-±ВАВ2ф, (16.61)
162
ГЛАВА 16
поэтому имеем
DAD*+ = + jRDAi>. (16.62)
Действуя оператором Бл на уравнение (16.58) и выделяя слагаемое,
содержащее R, получаем
DAj> = 0. (16.63)
Но действие оператора Da на уравнение (16.59) не приводит к новому
результату, так как
Ол (D2 7?/3) ф - 0
тождественно.
Вероятно, читатель озадачен тем, что обобщение глобальных представлений
на локальный случай не единственно. Но можно показать, что другие
определяющие условия ведут точно к тем же связям.
В отличие от теории Янга - Миллса необходимо также наложить
дополнительный тип связи [57]. При суперконформном преобразовании
получаем
р Л pLp К р . Л == pL* р . Л *-А е А >. Л е А >
где L - общее суперполе. Трансформационные свойства тетрады Етк и
связности Qa"1" выводятся из свойств ?лл(Д^л) с помощью стандартных
связей, выражающих первую из упомянутых величин через вторую.
Следовательно, стандартные связи по определению инвариантны относительно
суперконформ-ных преобразований.
Связи ТАВп = ТАВ° - 0, сохраняющие представление, также инвариантны
относительно суперконформных преобразований, что можно проверить,
например, рассмотрев их явное выражение через ?лА (?^Л). Детальное
вычисление трансформационных свойств тензоров кручения и кривизны
читатель может найти в работе [57].
Чтобы убедиться в необходимости суперконформных связей, рассмотрим теперь
действие для (N = 1)-супергравитации. Оно должно иметь вид
Л = -2\ё\#х#т{ЕА\ ?лЛ).
где % - гравитационная постоянная, а
E = detEAm.
Множитель необходим для того, чтобы воспроизвести ко-
эффициент 1/2%2 перед эйнштейновским действием.
ФОРМУЛИРОВКА (Л/ = 1 (-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 163
По соображениям размерности функция f должна быть ко-вариантным тензором
нулевой размерности. Однако таких ненулевых ковариантных тензоров не
существует, и, следовательно, действие может иметь только следующий вид:
d*x d4QE-
Далее, если нет суперконформной связи, то тетраду можно параметризовать
ЕАт = ЦЕ'Ат,
где ф- произвольное суперполе. Варьирование действия по полю ф дает
ЬЕЛ 6Л - --------Г = 0.
бф ьеаа что в свою очередь означает
?ЛлПГ = 2? = 0- (16.64)
оеа
Это полевое уравнение неприемлемо, поскольку из него следует, что тетрада
ENA необратима на массовой поверхности. Наложение суперконформных связей
ведет к тому, что ф - не самое общее суперполе, а уравнение движения
включает, как и требуется, проекционный оператор.
Читатель, хорошо знакомый с новой минимальной формулировкой
супергравитации, заметит слабое место в приведенном рассуждении, но
последнее заключение, а именно необходимость суперконформных связей,
всегда справедливо. Очевидно, не следует полностью нарушать
суперконформную группу симметрии, поскольку того же результата можно
достичь выбором суперконформной калибровки, и в этом случае мы получим
набор полей конформной супергравитации (е^п, ф^01, b(А).
Если надо выбрать связи, нарушающие суперконформную инвариантность, то
для этого имеются лишь две возможности. Мы можем редуцировать суперполе
L(L*), сделав его кираль-ным или линейным. Это требует связей,
размерность которых 1/2 и 1 соответственно. Рассмотрев трансформационные
свойства, найдем, что имеются два вида соотношений, претендующих на это
