Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Ковариантная производная с индексами касательного пространства есть
Dn = EnaDa, (16.12)
где Ena-обратная тетрада, определенная с помощью соотношений
ENAEAM = &мм (16.13)
или
ЕаМЕмл = бля. (16.14)
Рассмотрев супертетраду и спиновую связность, мы обычным образом
определим тензоры кручения и кривизны
[Av> Aw) = TNMtt-DR + -=- ЯымтП^тп- (16.15)
ФОРМУЛИРОВКА (А - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 155
Используя соотношения (16.11) и (16.12), находим
TNM* = ЕмАдАЕмяЕ/ + Ом/ - (-1)"" (М ++N), (16.16)
Raw3 = ЕмАЕмл (-1)Л(ЛГ+л> X
X {аАОяe + (r)ArkQ*ks - (-1)АЯ (Л я)}. (16.17)
С помощью этих тензоров общекоординатные суперпреобразования можно
записать в виде
бЕАМ=- Ea4nTnrm + Олё '1, (16.18)
60Лм" = Ea"InRnrmn, (16.19)
где %N = ^kEan и опущено преобразование Лоренца.
Тензоры кручения и кривизны удовлетворяют тождествам Бьянки, которые
следуют из тождества
[Dм, [Da, D*}}-[[Dm, D"), Dr} + (-1)W[[Dm, D*}, D"} = 0.
(16.20)
Тождества Бьянки имеют вид 0 = R1\mnf - [- (- 1)<м+^)^ T)rTmnf -f
TmnsTs%f + +
+ [ + (- 1)MJV DajTmr - (- \ )NRTmrTsn - (- 1)АЛ./?лшЛ1 + + [- DA/ + (-1
r+VMTNRSTSMF + (-1
(16.21)
и
/(2) mn Г , i\(M+A)l?n D mn . T SD mnl
1 RMN - I \ l) UR*\MN "T 1 MN *<SR J
- (- l)NR (R-*N, N -> R, M -> M в первой скобке)-
#_*/{, R -> M
в первой скобке) = 0. (16.22)
Можно показать, что если справедливо тождество (16.21), то тождество
(16.22) выполняется автоматически. Этот результат верен при наличии
связей, наложенных на TMnr и RMNmn, и является следствием ограниченного
выбора касательных пространств. Мы будем называть это утверждение
теоремой Дрэ-гона [70]. В случае когда все индексы фермионные, находим
Iabcn - - DАТbcn + ТABSTSCN -f Rabcn DcTabn + TCASTSBN + + Rcabn - DBTCAM
+ TBCSTsan -f RBcan - 6; (16.23)
для фермионных и одного бозонного индексов имеем
т N w-v rp N I rp Srp N г "-" N w-v rp N I rpS rpN ¦
lABr = - UAJBr +JABJSr + HABr - UrJ AB + / г A* SB +
+ RrAB" + DBTrAN - TBrSTSA" - RBrAN = 0, (16.24)
156
ГЛАВА 16
а для двух бозонных индексов получаем
т N __ rv rp N г ГП Sm ЛГ г п N т-v rp N I rp Srp N I
lAnr - " UAInr ~Г 1 Ап 1 st ~Г Нлпг ~UrIAn ~Г 1 г А 1 sn Т-
+ RrAn ~ D JrA + TJtJ + RnJ = 0. (16.25)
Ясно, что любой индекс без точки можно заменить индексом с точкой; при
этом знаки останутся теми же. Напомним, что в случае глобального
суперпространства все компоненты тензора кручения и кривизны равны нулю,
кроме ТА^п= - - 2i (ап)а? . Очевидно, что это не согласуется с группой
касательного пространства Osp(4,1).
Размерности кручений и кривизны можно получить из размерностей
ковариантных производных Dn¦ Если F и В обозначают фермионные и бозонные
индексы соответственно, то
[0,]=у- [DB] = 1 (16.26)
и
[Tffb] - 0, [ТРЛ = [ТРВВ] = \,
[Tfbf\ = [TBbB]= 1, [ТВвр ]=-|. (16.27)
а размерности кривизны
[RPrmn] = 1, lRFBmn] = Y' №ввтп] = 2. (16.28)
Полезно рассмотреть понятие геометрической размерности полей. Это
размерность поля, с которой оно появляется в выражениях для тензоров
кручения и кривизны. Такие выражения никогда не содержат гравитационной
постоянной к, и поскольку они нелинейны по некоторым бозонным полям,
таким, как тетрада эти поля должны иметь нулевые геометрические
размерности. Размерности других полей определяются по их соотношениям с
тетрадой едп, например по преобразованиям суперсимметрии. Таким образом,
получаем
M = 0, hva]=y. [М] = [ЛЯ = [ад = 1. (16.29)
Заметим, что эти размерности отличаются на единицу от канонических.
16.2. Связи в суперпространстве
Проведенное выше рассмотрение почти полностью идентично тетрадной
формулировке общей теории относительности. Но имеется и одно
принципиальное отличие, состоящее в выборе
ФОРМУЛИРОВКА (N - 1)-СУПЕРГРАВИТАЦИИ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ 157
ограниченной группы касательного пространства, так что суперкасательные
векторы принадлежат ее приводимому представлению. Для построения
супергравитации требуются дополнительные понятия. Тетрада E\N и спиновая
связность Од"1" содержат много степеней свободы. Простой подсчет приводит
к следующему результату:
8(8Х8 + 8Х6)-8(8 + 6) = 8Х7Х7Х2. (16.30)
Это гораздо больше, чем число степеней свободы полей супергравитации -
фjj,(tm), М, N и за вычетом калибровочных симметрий (12+ 12). Более того,
некоторые из полей имеют спин 3, т. е.
Е"т= ... + + .. . (16.31)
Эти черты являются симптомами скрытого недостатка. Пусть имеется
киральное суперполе ф(х,6) в глобальном суперпространстве; можно
потребовать, чтобы это представление сохранялось и в случае, когда
возникает супергравитация. Определяющее условие для теории с глобальной
суперсимметрией (DA<f> = 0) необходимо обобщить так, чтобы оно стало
ковари-антным по отношению к общекоординатным суперпреобразованиям.
Простейшее обобщение имеет вид
ЬАф = ЕАтдтф = 0. (16.32)
Уравнение (16.32) означает, что выполняется соотношение
{О.о8) + о=уо^. (16.33)
Поскольку при 0 = 0 ф является произвольной функцией х, из соотношения
(16.33) следует [56,57]
ТАвд = ТАвп = 0. (16.34)
