Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
[бл, б?] Ка1 = с3 (д^Л) еаг. (12.8)
Это не похоже ни на одно из преобразований симметрии теории, поэтому
следует положить с3 = 0. Коммутатор двух преобразований суперсимметрии,
действующий на поле Л, есть
[бь б2] Л = 2с2ё2'у^еиддЛ, (12.9)
так что для согласия с алгеброй суперсимметрии выбираем
значение с2 = +1. Сюда не входят поля В и F^v, так как пра-
вая часть получена после вычитания выражения с измененным порядком
индексов (1-<->2) и использования свойств майора-новских спиноров. При
действии коммутатора двух преобразо-
ТЕОРИИ с расширенной глобальной СУПЕРСИММЕТРИЕИ 85
ваний суперсимметрии на поле получаем правильную величину преобразования
симметрии, полагая Ci = +1, а также калибровочное преобразование.
Подобная ситуация возникает и в теории Янга - Миллса с N= 1, которая
содержит только поля (Л (И D). Это результат использования калибровки
Весса- Зумино [13]; он является следствием компенсирующих преобразований,
необходимых для сохранения калибровки при преобразованиях суперсимметрии.
В теории Янга - Миллса с N = 2 - аналогичное положение. Мы нашли, что
алгебра преобразований, действующих на поле Яаг, замкнута, если
удовлетворяются уравнения движения. Приведенные выше преобразования
суперсимметрии образуют "алгебру на массовой поверхности".
III. Инвариантное действие, которое необходимо построить, может иметь
только следующий вид:
A=\dlx [- - \{d"Af - i- (d^Bf - -111дк]. (12.10)
Если учесть уравнения движения, то действие инвариантно, и, таким
образом, оно является "действием физических полей".
На данном этапе нужно сделать замечания о недостатках формулировок
теорий, опирающихся на "действия физических полей". Хотя с такими
действиями можно производить вычисления, их довольно трудно использовать
для получения общих результатов. Пусть, например, мы хотим найти все
возможные теории с взаимодействием. Но добавление членов взаимодействия
модифицирует уравнения движения и, следовательно, требует новых
преобразований суперсимметрии на массовой поверхности. В результате
построение каждого нового члена взаимодействия будет даваться с огромным
трудом. Это не слишком важная проблема для теорий с расширенной
глобальной суперсимметрией, так как перенормируемых взаимодействий
немного. Но это очень серьезная трудность при попытках найти наиболее
общее взаимодействие полей материи с супергравитацией.
Другая трудность касается квантования суперсимметричных теорий.
Значительно проще квантовать теорию, учитывая ее-симметрии, если она явно
симметрична. Ясно, что это не так, когда при вычислениях используются
"действия физических полей".
IV. Учитывая проведенное обсуждение, построим теперь супермультиплет,
поля которого реализуют представление алгебры суперсимметрии без
использования классических уравнений движения. Это означает, что
необходимо найти вспомогательные поля. Полезным руководством в
определении числа вспомогательных полей служит требование, чтобы их
добавление вне
86
ГЛАВА 12
массовой поверхности давало мультиплет с равным числом бозонных и
фермионных степеней свободы. Поле Kai со спином 1/2 имеет 8 степеней
свободы, а поля А, В и А^ - соответственно только 1 + 1+3 = 5 степеней
свободы. Векторное поле Л^ имеет лишь 3 степени свободы, поскольку
правило равенства бозонных и фермионных степеней свободы доказано с
помощью соотношения {Q, Q} ~ /+ из алгебры суперсимметрии. Как было
отмечено выше, это соотношение справедливо только для калибровочно-
инвариантных состояний, и, следовательно, необходимо вычесть
калибровочную степень свободы для А^ Поэтому нам требуется 3 степени
свободы вспомогательных бозонных полей. Одна из возможностей заключается
в том, что имеется SU(2) -триплет вспомогательных полей Х1> =Х14 с
размерностью 2. Предположим, что это так. Тогда необходимо построить
преобразования суперсимметрии полей
А,В,А^,Кг и Xli, (12.11)
где
(Xi!)* = Xtj = ХмеыЕц.
Требуя линейности преобразований, согласования размерностей и используя
редукцию алгебры на массовой поверхности при ХЧ = 0 к алгебре,
рассмотренной выше, найдем, что преобразования полей
6Л, б В и 6Л^
должны быть такими же, как прежде. Для остальных полей имеем
б А, = - j F^o^Ei - id (A - iy5B) е? - i ф/е, J,
6Х = + ic4ll {xjidk],
где Xi> - (x)iiX, (т)/ - матрицы Паули. Значение c4 = +1 следует из
требования замкнутости алгебры преобразований суперсимметрии.
Соответствующее инвариантное действие имеет вид A=\d4x{-±F2llv-}(d"A)2-
-^(<W -j^ + yX2}. (12.13)
Построив линеаризованную теорию, мы найдем отвечающую ей нелинейную
теорию, т. е. теорию, инвариантную относительно теперь уже локальной
калибровочной группы G\. Поэтому параметр Тг необходимо сделать зависящим
от координат пространства-времени, т. е. Тг{х). Для восстановления
калибровоч-
ТЕОРИИ С РАСШИРЕННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ 87
ной инвариантности нужно ввести ковариантные производные и связать
локальные абелевы преобразования свободных полей со ставшими также
