Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
где S' - действительный и антисимметричный множитель (т. е. Л2"т2 Для N -
2), a S"- комплексный и симметричный множитель (т. е. 5" = i'<t2(A3<ti,
Лог<т2, Акт3) для N = 2). Доказательство этого утверждения просто и по
существу совпадает с приведенным в гл. 2 для алгебры суперсимметрии.
В случае N = 2 существует антисимметричный тензор второго ранга в/,-= -гц
с компонентами ±1, и часто удобнее использовать альтернативное
майорановское условие, которое получается из приведенного выше с помощью
соответствующего преобразования полей. (Напомним, что любое условие
действительности поля можно привести к указанному выше виду с помощью
преобразования.) Выполним такое преобразование:
="" (-4(r))""" (-4^)",
где
е12 = - е21 = + 1.
Если выбрать +ге* = d, то майорановское условие принимает вид [22, 66]
А,аг = (гу5С)ар ега'р/,
где операция комплексного сопряжения опускает верхний индекс i или /.
Преобразование симметрии поля X' можно вывести, пользуясь его
определением и преобразованием поля кш, которое имеет вид
= ((Cj)/ б"р + (Y5)ap (Ctfi) А/р/,
где
С2 = 1А0, Ci = i (А,аь A2a2, A3a3).
Становится ясным преимущество майорановского условия такого типа.
Представление группы SU(2) (порождаемой преобразованием Ci) не содержит
матрицы у5, а так как е,;- - SU(2)-инвариантный тензор, новое
майорановское условие, очевидно, допускает эту симметрию. Но
преобразования, включающие матрицу у5, образуют представление С(1).
Ситуация с первоначальным майорановским условием противоположна. Несмотря
на то, что для обоих условий допустима симметрия U(2), симметрия С(1)
очевидным образом реализуется в первоначальном майорановском условии.
Понятно, что в двухкомпонентном фор-
ТЕОРИИ С РАСШИРЕННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ 83
мализме эти различия несущественны. Читатель может убедиться в
согласованности нового майорановского условия при комплексном сопряжении.
В последующем обсуждении теорий с N = 2 мы примем майорановское условие в
виде
(r)ai == Ч ' •
Ясно, что использование параметра еаг и пренебрежение майо-рановским
условием эквивалентно рассмотрению теории суперсимметрии с N = 4 вместо
теории с N = 2.
Теперь станем последовательно строить теории с глобальной (N = 2) -
суперсимметрией, начиная с (N = 2)-теории Янга- Миллса. Будем следовать
процедуре, которую использовали для модели Весса - Зумино в гл. 5, т. е.
начнем с состояний на массовой поверхности, найдем связывающие их
преобразования суперсимметрии и построим инвариантное действие
"физических полей". Затем найдем описание вне массовой поверхности, т. е.
вспомогательные поля и соответствующее инвариантное действие.
12.1. J1V = 2)-теория Янга - Миллса [23]
I. Состояния на массовой поверхности, принадлежащие представлениям
(глобальной) симметрии SU(2), можно представить полями А, В, Аа и kai.
Действительные поля Л, В и Лй являются синглетами относительно SU(2)-
преобразований, а поле со спином 1/2 - дублетом. Для того чтобы остался
лишь один дублет спина 1 /2, как это требуется на массовой поверхности,
необходимо наложить майорановское условие. Это условие имеет вид
Ki = (iy5C)a^u№- (12.1)
Тензор е,у = -ец = е'* можно использовать для поднятия и опускания SU(2)-
индексов согласно правилам
V = e%, K%, = Ki- (12.2)
Предоставляем читателю в качестве упражнения получить весовые множители
полей Л, В, kai и А^ при преобразованиях 17(1). Так как эти поля задают
состояния на массовой поверхности, они удовлетворяют уравнениям движения
(членами взаимодействия мы пренебрегаем)
где
д2А = д2В = (дк{) а = = О,
(12.3)
(12.4)
84
ГЛАВА 12
Рассмотрим сначала линеаризованную, или свободную, теорию как полностью
согласованную и в то же время значительно более простую, чем теория со
взаимодействием.
II. Найдем преобразования суперсимметрии, связывающие состояния на
массовой поверхности. Исходя из соображений размерности и линейности, эти
преобразования должны иметь вид
бЛ = г'Ё'Я,г, &В = в'уьк{, 6Лц = + ё'уцАг,
бАг = - y cJ^o^Si - ic2d (А - iy5B) ег + с3ддЛ%, (12.5)
где с 1, с2 и с3 - постоянные. Линеаризованная теория должна
быть инвариантной относительно абелевых калибровочных преобразований
ал*д = <эдлв, 6Л5 = 6В5=6А*; = 0 (12.6)
и глобальных преобразований группы G\ с параметрами Тг (т. е. Тг не
зависят от х^):
бAr = frstTsAt, бЛ/ = /"*ГЛд* и т. д. (12.7)
Здесь frst - структурные константы группы G\, которая становится
калибровочной группой в теории со взаимодействием. Все поля принадлежат
присоединенному представлению группы Gь поскольку они должны
преобразовываться так же, как поле Лц. Это является следствием того, что
группа суперсимметрии и калибровочная группа Gi коммутируют. В
приведенных выше преобразованиях суперсимметрии и в последующих
соотношениях групповые индексы не выписаны, но подразумеваются.
Но преобразования суперсимметрии должны образовывать замкнутую алгебру. В
частности, действие коммутатора локального калибровочного преобразования
и преобразования суперсимметрии на поле Xai имеет вид
