Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
6CF = а (2 - п) G, 6G = - а (2 - п) F. (11.12)
Преобразования суперсимметрии не зависят от кирального веса:
6Л = ёх, б В = г'ёу5Х,
бХ = (F + iYsG + д (А + i\sBj) е,
б F - ёд% б G = ie\5d%.
В приведенных выше киральных мультиплетах (11.9) и (11.10) киральные веса
равны соответственно 0 и 2.
Наконец, можно получить другой подмультиплет, полагая супермультиплет Н
равным нулю. Такой супермультиплет называют линейным мультиплетом; он
состоит из компонентных полей
L = (C, С, ОД (П.13)
где поле удовлетворяет условию
5"о|1 = 0. (11.14)
В действительности большинство общих неприводимых су-пермультиплетов
можно получить из супермультиплета (11.1), поля которого имеют лоренцевы
индексы. В случае мультиплета с одним векторным индексом имеем
Сд=(Сц,, (11.15)
Преобразования суперсимметрии те же, что и для С, но поля имеют
дополнительный индекс р, который тривиальным образом содержится и в
преобразованиях, т. е.
б С^г'ёувСц. (11.16)
11.2. Составные супермультиплеты
Объединим теперь два супермультиплета, чтобы получить третий
супермультиплет. Эта операция аналогична составлению из двух векторов
тензора второго ранга. Возможны следующие комбинации:
а) Можно объединить два общих супермультиплета симметричным образом
для нахождения третьего:
Ci • С2 = С3 (11.17)
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИИ 73
с компонентами
Сз = С1С2, ?3 = C2?i + С^, Н$ = Н\С2-\- Н2С\-
Кз = A\G2 + К 2^1 2 ^2' ~ ^2 "Ь ^И2^1 Н-^ S1YM.Y5S2 .
Яз = ^\С2 + |^+ ~2 iy^H 1) + -^ ^iY5 -2 ?2 + (1 <_н*" 2),
_D3 = C2Dl -(- CiD2 -|- НiH2 -}- К\К2 - А^2 /Ц?2
(11.18)
Этот результат получается при варьировании произведения С\С2 = Сг. При
этом преобразования суперсимметрии позволяют получить следующую
компоненту:
Затем операция повторяется в применении к выражению С^2+ + Сг? 1 для
получения следующей компоненты и т. д.
б) Можно объединить два киральных мультиплета симметричным образом,
чтобы образовать третий с киральным весом
= П\ -(- П2\
Перемножая мультиплет А с двумя постоянными мультипле-тами
получим А -1+ = А и А • 1_ = (-В, А, -iy5%, G, -F)- киральный мультиплет
с "измененной четностью".
в) Можно объединить два киральных мультиплета одного кирального веса щ
= п2 симметричным образом, чтобы образовать общий мультиплет
б (CiC2) - геуб (С^2 + C2?i).
Ai • А2 - A3
(11.19)
с компонентами
А3 = А^А2 - В1В2, Вг = А1В2 BiA2,
5Сз = (А - *Ys^i) ?2 + (А2 - г Ys^i) S2.
В3 = A{F2 BiG2 + A2Fi + B2Gt Xi%2>
G3 = Afi2 B{F 2 + A2G, - B2F! + i% iY5%2- (11 -20)
1 + = (1, 0, 0, 0, 0), 1_ = (0, 1, 0, 0, 0), (11.21)
A!XA2 = C
(11.22)
74
ГЛАВА ]]
с компонентами
С = Ах А2 + ВХВ2, ? - ((r)i jY5^i) %2 + {В2 iy5Л2) %х,
Н = -j- F1S2 + К 2^ 1 -Т AXG2 -f- A2G\, к = - FXA2 - F2Ax + bxg2 + B2Gx,
ч-> 4->
А^=Вхд^А2 + В2д^Ах - jXiY5YnX2, ^ - + (Gi + iy*,Fx) %2 + {O2 + ^5^2) Xi -
da (Bx -j- t'Ys^i) Y°%2 - da (B2 + ^5^2) Ya%i>
D = 2FxF2 + 2GxG2 - 2dVkAxePA2 - 2d^Bxd"B2 - xxd%2 - у>2дул •
(11.23)
г) Можно объединить мультиплеты, чтобы получить комбинацию
А! Д А2 = (1_ • А,) X А2, (11.24)
антисимметричную по полям мультиплетов Ai и А2 и имеющую низшую
компоненту С = АХВ2 - А2ВХ.
Конечно, можно выбрать любую комбинацию полей и образовать из двух
мультиплетов третий путем последовательного варьирования. Но наиболее
полезные комбинации те, которые приведены выше.
Следующий этап тензорного исчисления основан на использовании
компонентных полей для образования из них мультиплета. В
частности полезным оказывается мультиплет, который
получается, если в качестве первых компонентов берутся поля F и G
кирального мультиплета. Так как
б F = tS%, (11.25)
получаем киральный супермультиплет ТА, имеющий вид
TA = (F, G, д%, д2А, д2В). (11.26)
Заметим, что при этом
7ТА = <32А.
Мультиплет ТА иногда называют кинетическим мультиплетом.
11.3. Формулы для функционала действия
Если известны мультиплеты суперсимметрии и правила обращения с ними, то
остается только строить инвариантное действие. Мы сделаем это отдельно
для общего и кирального мультиплетов.
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИИ 75
Для общего супермультиплета интеграл от его высшей компоненты,
обозначенный следующим образом:
Jtftc [C]D = J d*xD, (11.27)
инвариантен относительно преобразований суперсимметрии, поскольку
вариация поля есть полная 4-дивергенция и поэтому
д J d*x [С]0 = 0.
Если имеем киральный мультиплет, то можем построить инвариант, интегрируя
его ^-компоненту:
$d4x[A]F^$d4xF, (11.28)
так как вариация поля F сводится к дивергенции. Заметим, однако, что
компонента [A] F кирально инвариантна только в том случае, если киральный
вес мультиплета А равен 2.
Примеры, а) Модель Весса и Зумино [3] содержит один киральный мультиплет.
В качестве лагранжиана выберем наиболее общий "инвариант", который можно
построить, не прибегая к константам взаимодействия с отрицательными
размерностями:
Z.B3 = -4[AXA]D--f-[A-AL?--|-[A-A.A]F. (11.29)
Дополнительное слагаемое [A-7A]f не приводит к новому результату,
