Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
ma — (mg + Eq0)(-sin а).
Ускорение а — 1(а) '' , где (а)' ' — вторая производная угла а по времени. Учитывая, что для малых углов sin а d а, получаем дифференциальное уравнение:
mta' ' — -(mg + Eq0^, которое описывает гармонические колебания с циклической частотой
mg + до E
ml
Находим о т в е т : период колебаний
ml
Jg + до E
10.17.7. До того как на пластины конденсатора было подано напряжение, верхняя пластина находилась в равновесии под действием силы тяжести mg и силы упругости пружины Fynp J — Ax1 (рис. 10.17.8):
mg - Fynp 1 — 0 ^ mg - Ax1 — 0 ^ X1 — ,
где X1 — удлинение пружины в положении равновесия.
'////////.
(1)
F ^ - х упр 1J с упр 2 Положение І
1 aI ¦ g і m
Г равновесия
d - A mg
Fo
-Fvl
mg J
X
Рис. 10.17.8
O
588
После того как на конденсатор подали постоянное напряжение U, его обкладки стали притягиваться друг к другу с силой
F = |q|.E,
где E — напряженность электрического поля между пластинами. При этом изменилось положение равновесия верхней пластины. В этом положении равновесия
mg - Fynp 2 + F0 = 0 ^ mg - kx2 + F0 = 0 ^
mg + F0
^ X2 k , (
где ^2 -- удлинение пружины в новом положении равновесия, Fo —
сила взаимодействия между пластинами конденсатора. Следовательно, амплитуда колебаний
A = x2 - X1,
или с учетом (1), (2)
При движении верхней пластины емкость конденсатора будет изменяться, будут изменяться напряженность электрического поля и сила взаимодействия между пластинами. Если расстояние между пластинами станет равным b, то
E = U F = |_| U = C U2 = E0SU2 = E0SU2
b’ H'b b bb b2 '
Следовательно, в положении равновесия (b = d - A)
En SU2
откуда с учетом (3)
Fo (d _ A)2’
Рассмотрим движение верхней пластины. В некоторый момент пластина будет смещена из положения равновесия, например вверх, на величину х. По второму закону Ньютона
ma = -rng - F + .Fyn^
E0 SU2
ma = -mg -----------0-------- + «(х, - х),
g (d _ A + x)2 ^ 2 ;
или
589
а с учетом условия равновесия (2)
ma = E0SU2 -2(d -A)*-*2 + kx.
(d - A + x)2 (d - A )2
Чтобы колебания были гармоническими, отклонения пластины должны быть малыми. Поэтому
Г 2e0 SU2 Л ma = - —0------ + k х,
V (d - A)3 )
или с учетом (4)
-2М + k d mto2 , k(d - 3A) d - A 0 m (d - A)
to.
Следовательно, период колебаний пластины
T = 2^ ^ T d 2n m (d „A) . rn0 Vk (d - 3A)
10.17.11. В положении равновесия (рис. 10.17.9, а)
mg = . (1)
lO
При движении бусинки (рис. 10.17.9, б)
-Fsj + mg = ma.
^эл1
^m, q mg
®q а)
эл2
m, q
mg
®q
Рис. 10.17.9
a
о
590
В некоторый момент времени смещение бусинки от положения равновесия будет равно х, а сила Кулона
= kq2 .
=
(*0 + x)2
С учетом (1) получим
kq2 + kq2 =
( 1 0 + x) 2 *2
ma,
- kq2 + kq2 = kq 2
( *0 + x)2 IF &
a,
_ 2*0x + x2
1O g 1O ( *0 + x)2
Так как смещение мало, т. е. х П Z, находим
2 g
a = - х.
Ускорение прямо пропорционально х и направлено в сторону, противоположную смещению, поэтому шарик будет совершать гармонические колебания и W2 = — , а период колебаний
*0
T = = 2п IL-0-.
1122°-. V 2 g
Ответ: Т = 2nJZ0/(2g) .
или
0
Глава 11. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
11.1.8. Если пластина вдвинута в конденсатор на расстояние х (рис. 11.1.2), то полученную систему можно рассматривать как два соединенных параллельно конденсатора емкостью каждый
c = EE0*x с = E0 *(* _ x)
Cl “d”, C2 —d—
(Z = Js — длина обкладки конденсатора). Их общая емкость
C = C1 + C2 = E0* (єх + Z - х).
591
При этом заряд конденсатора
q = CU,
или
с l
q = U JL [(є - 1)x + 1].
При увеличении x заряд конденсатора начнет расти, и сила тока в цепи
і = dq- =uCo1 (є -1)v = U?o(c-1)v^ d 10,6 ¦ 10-8 a. d t d d
Ответ: I d 10,6 • 10-8 A.
11.2.6. Если проводник имеет форму цилиндра, то его сопротивление
R = S ¦
Тогда отношение сопротивлений проводников
RCu PCu1CusAI
RAl pAI1AIsCu
(1)
где индексы «Cu» и «Al» относятся к меди и алюминию.
Если массу проводника выразить через плотность материала Р0 и объем:
m = p01S,
то выражение (1) можно представить в виде
22 rCu pCu1CumAlpOCu pCu1CupOCu
Ra1 pAl1AlmCu pOAl pAl1AlpOAl
где учтено, что mCu = mA1. С учетом условия задачи получим ответ:
RC
^Al
= 200.
R
11.3.4. Общее сопротивление двух проводников, соединенных последовательно, равно
Дпосл. = R1 + R2,
где Др -R» — сопротивления каждого из проводников.
592
При параллельном соединении проводников
По условию задачи
R1R2 R — 12
nap. RTTR
Дпосл. nRnap.
Решив систему приведенных уравнений, получим ответ:
Ri — n_ 2 + У(n _ 2)2 _ 4 — 4 и Ri — n _ 2 _ л/(д _2 ) 2 _ 4
R 9
R
2
2
— 0,25.
11.3.11. Так как схема симметрична, то потенциалы точек а и b, а также точек с и d равны фа — фь, фс — ф^ (рис. 11.3.15, а), поэтому цепь можно преобразовать к виду, показанному на рис. 11.3.15, б.
