Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
Векторы напряженности AE электрических полей, создаваемых всеми зарядами Aq в точке A, будут расположены по боковой поверхности конуса (рис. 10.4.8). При этом суммы проекций векторов AE на оси OX и OY будут равны нулю, а на ось OZ
X AEz = ? AE cos а = ? kAq • I .
Z
E s
дЕ^Уае
^a Г/ а I а \Г
¦' ! x 4 * і
I \ Aq
Al'
Рис. 10.4.7
Следовательно, напряженность электрического поля заряженного кольца в точке A
E =
EkAqi = ki Aq = fegi
(R2 + x2 ) 3 / 2 (R2 + i 2 ) 3 / 2 ? q
'(Я2 + i2)3 / 2 (R2 + X2)3 / 2^ (R2 + i2 )3/2
Результирующая напряженность электрического поля в точке A EA = E - Ed,
565
M
/I
rZ!
Рис. 10.4.9
где Ed — напряженность поля, создаваемого элементом кольца длиной d (рис. 10.4.9):
E, =
= кДgd =
kgd
r2 2п R (R2 + X2)
Следовательно, если кольцо содержит воздушный зазор, то напряженность электрического поля в точке A равна
Ea = ,Je2 + Ed - 2EEd cos а,
= kg
X2 + d2
V2 xd
(R2 + X2)^R2 + X2 4n2R2 2nR(R2 + X2)112
d 4 • 103 В/м
и направлена под углом P к оси кольца:
P = arcsin j Ed sin а | d 0,036°
Ответ: Ea d 4 • 103 В/м; P d 0,036°.
10.6.4. Минимальная работа по перемещению заряда (рис. 10.6.4) из точки 1 в точку 2:
A = Fl cos Р,
где F — минимальная сила, которая равна по модулю силе электростатического взаимодействия заряда с полем плоскости:
Fa = qE;
E — напряженность поля плоскости: E = J^L ; P — угол между си-
2 ?0
лой и направлением перемещения: P = 90° - а.
Решив систему приведенных уравнений, получим
A = g H1 sin а = 0,24 Дж. 2?0
Ответ: A = 0,24 Дж.
566
10.6.5. Электрическое поле между пластинами можно считать однородным (рис. 10.6.5). Напряженность поля, создаваемая первой пластиной,
E1 = Ы ,
1 2 Ео*
4q
E9
E і
где O1 = S — поверхностная плотность зарядов рис io 6 5
этой пластины.
Напряженность поля, создаваемая второй пластиной,
E2 = И ,
2 2 Ео’
4q
где O2 = 2 — поверхностная плотность зарядов этой пластины.
Поскольку напряженности E1 и E2 между пластинами направлены в противоположные стороны, то напряженность результирующего поля
E = E1 - E2l = 2|^;
теперь найдем разность потенциалов:
Дф = Ed = -l^d .
2 EoS
10.7.10. Так как электрическое поле неподвижных зарядов потенциально, то работа A по перемещению заряда q0 из точки C в точку B не будет зависеть от формы траектории, по которой перемещают частицу, и
A = Wc - Wb, где Wc — энергия заряда q0 в конечном состоянии: wC = %(ф1С + ф2С);
Wb — энергия заряда q0 в начальном состоянии:
wB = %(ф1В + ф2В);
ф1, ф2 — потенциалы поля соответственно зарядов q1 и q2 в точках расположения зарядов:
ф1С :
-2i
d + I + a
-22 -2i
ф2С = т+a, ф1В = d+i ’
-q2
ф2В = T '
567
Решив систему приведенных уравнений, получим ответ: A = -kq0a (-------------------21------- + ——
^0 ((d + 1)( d + 1 + a) 1 (I + a),
10.7.13. В случае трех точечных зарядов энергия системы
W = 1 (q^1 + q2Ф2 + qзФз),
где потенциалы в точках 1, 2 и 3
(рис. 10.7.6) соответственно равны: ф1 = q - q ,
1
ф2
ф3
I1 - 2 = I2 - 3 = a, I1 - 3 = aJ2 — расстояния между зарядами, расположенными в точках 1—2, 2—3 и 1—3 соответственно. Следовательно,
ф1
= q -
4пЕо a 4 ЛЕ0 a »/2 находим энергию системы зарядов
, ф2 = 0, ф3 =
4 пе0 aJ2 4 ПЕо a
1 q2
W = 2 q^1 - ф3) = - =4—
2 242 nE0a
10.7.14. Из принципа суперпозиции электрического поля потенциал в точке O (рис. 10.7.7):
ф = ф1 + ф2 + ф3 + ф4.
Так как расстояния от каждого заряда до точки O равны r = — , то
T=
ф1 = ф2 = ф3 = ф4 = kT2 = ^2,
Рис. 10.7.7 где k — электрическая постоянная.
4пЕ01I - 2 4пЕ0*2 - 3
+
4ПЕ01I - 3 4ПЕ0 *2 - 3
568
Следовательно, потенциал поля в центре квадрата Ф = 4ф1 = 4^kg .
10.7.19. Потенциал внутри сферы равен потенциалу поверхности:
(1)
где к — электрическая постоянная, q — заряд сферы, R — ее радиус.
Вне сферы потенциал
Ф = k q,
r
где r — расстояние от центра сферы до данной точки. Так как r = R + 1 (рис. 10.7.8), то в точке A потенциал
i
Ф =
= kq
Ol A
Рис. 10.7.8
R + I
(2)
Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим
Фо = Л+_1 Ф R ,
откуда найдем радиус сферы:
R = I Ф = 30 см.
Ф0 - Ф
10.7.23. Внутри равномерно заряженной сферы радиусом R с зарядом Q потенциал поля
ф = -Q-,
4п?0 R
а вне сферы на расстоянии r от ее центра
Q
ф = т-Q-.
(1)
(2)
В области 0 < r < R1 потенциал будет равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых обеими сферами во внутренних областях. Используя формулу (1), получаем
ф (0 < r < R1) =
q1
q2
(3)
+
4 Л?0 R1 4 Л?0 R2
569
В области R1 < r < R2 потенциал поля внутренней сферы будет изменяться по закону (2), а внешней — по закону (1):
q2
ф (Ri m r < R2) = q 1
(4)
4 л?0 Г 4 Л?0Л2
В области r l R2 потенциалы полей обеих сфер будут изменяться по закону (2):
Ф (r > R2) =
q1
q2
