Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
250 Глава VIL Тригонометрический расчет лдчей в центрированной системе
плоскости системы. Точка А определяется отрезком OS по оси, обозначаемым буквою s, и расстоянием AS точки от оси, обозначенным буквою I. Луч АВ пересекает координатную плоскость X0Z в точке В и вспомогательную плоскость PHDу перпендикулярную оси х-ов, в точке D. Из центра С преломляющей сферы проводим радиус через точку А до точки Q на сфере; М—точка падения и преломления луча АВ, в которой он пересекает сферу.
Из точки В ояускаем перпендикуляр BE на ось Jt-ов и проводим линию АЕ. Вводим обозначения, определяемые следующими равенствами;
0С=Ш=г; Z BAC=v\ L ВАЕ~\ ?AES=z4 Z ACS=y.
Обозначим координаты точки D во оси у-ов и z-ов буквами т и М и расстояние ОР буквою х.
Из рассмотрения треугольников ASC, ASE, ЕР К н ADK находим:
t2Y=T^7’ (HD
= (74’2>
(74,3)
Углы Y, ?» & могут иметь значения в пределах от —90° до -1-90°; если положение луча определено величинами: I, s, т и М, то углы у, е и В могут быть вычислены по этим формулам и определены их знаки.
Продолжим плоскость преломления луча АВ, проходящую через радиус АС и луч АВ, до пересечения с вспомогательной плоскостью PHDK по линии DL; DK—-линия пересечения этой вспомогательной плоскости с плоскостью АВЕ, проходящей через луч AD и его
проекцию АК на плоскость XCY. Через отрезок DK проводим пдос»
кость DFK, перпендикулярную радиусу AC; DF и FK линии пересече-
§ 74. Расчет внемеридионального луча
2S1
ния этой плоскости с плоскостью преломления AFD и плоскостью XCY. L DFK(— ъ) есть линейный угол двугранного угла, образуемого плоскостью преломления и координатной плоскостью XCY.
Из прямоугольного треугольника DFK находим:
DK
tg г, = - - •
s FK
Из прямоугольных треугольников AKD и AFK имеем:
Ш = АК\%Ъ,
FK = AKs in(e —у).
После подстановки в предыдущую формулу получим:
^Г‘ = зтТ^Т)' (?4>4)
Из того же треугольника DFK и треугольников AKD и AFD находим:
DK sin х = ——;
FD
DK¦— AD sin FD AD sin v.
Подстановка дает:
SID Ci
SmV = rt^,' (?4>
Наконец из треугольников AFD, AFK и AKD имеем:
AF
cos v = -=r~- ;
AD
AF — AK cos(e — y);
AD — АК&ьс После исключения отрезков приходим к формуле:
cos v cos cos (e — у). (74,6)
Как уже было сказано, формулы (74,1), (74,2) и (74,3) определяют однозначно величины углов у, е и S и их знаки. Естественно угол v отсчитывать от радиуса АС подобно тому, как угол S отсчитывается от линии АЕ; очевидно, что при этом условии угол v имеет значения в пределах от — 90° до -+- 90° и что углы v и S всегда имеют одинаковые
252 Глава Vll.t Тригонометрический расчет лдчей в центрированной системе
знаки. Из этого следует согласно формуле (74,5), что значение угла г, должно удовлетворять неравенству
sin т, ]> О,
т. е. синус угла г, всегда положительная величина; напротив того знак tg г, определяется знаками числителя и знаменателя в формуле (74,4). Такии образом; угол г, имеет всегда положительные значения, а величина его удовлетворяет неравенству
О <1 т; <1180°.
Поэтому, если рис. 124 дополнить построением луча AD', симметричного лучу AD относительно плоскости XCY и проходящего через точку /У с координатами — m и ¦— М, то в треугольнике FKO', симметричном треугольнику FKD, угол KFD' нужно обозначить 180-г j а не —г„ как это кажется естественным на первый взгляд; угол п должен и в этом случае оставаться положительным и потому отсчитывается от плоскости XCY но часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего в отрицательную сторону оси лг-ов.
Формулы (74,4),
(74,5) и (74,6) могут быть написаны на основании известных соот-Рис. 125. ношений сферической
тригонометрии.
В случае малых значений углов v и Ь для нахождения угла v следует пользоваться формулой (74,6).
б) Имея формулы для вычисления вспомогательных углов, переходим к закону преломления луча АВ, для чего воспользуемся рис. 125, повторяющим часть рис. 124 с добавлением преломленного луча МА'В MQN—плоскость большого круга сечения сферы; МС—радиус сферы, проведенный в точку преломления М; угол АМС есть угол падения, обозначаемый буквою i; МА' — преломленный луч, который образует угол преломления А'МС, равный i', и который пересекает меридиональную плоскость в точке А'.
Из треугольника АМС находим.
АС _ г sin / sin v ’
определяем отрезок АС из прямоугольного треугольника ASC, подставляем в это уравнение и находим sin г; это дает:
sin г — ——— sin v sec v.
Г *
$ 74. Расчет внемеридчоналъною луча 25^
о закону преломления:
siii i' = sin i; (74,8)
П
так как v — i ~~ v — i\ то
v'-~-v~i ¦¦/'— z. (74,9)
Преломленный луч MA' пересекает меридиональную плоскость
в точке А1 и экпаториальную r точке В'. Нет надобности повторять построения всех вспомогательных отрезков и углов для преломленного луча и вновь выводить связывающие их формулы, так как это было бы повторением предыдущего с тем различием, что все величины, относящиеся только к преломленному лучу, должны быть отмечены значками справа вверху в отличие от величин, определяющих падающий луч до преломления. Поэтому для отрезка OS' (рис. 125), который мы должны обозначить буквою s', можно написать на основании формулы (74,7)
