Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с формулами Юнга и Кербера для вычисления астигматического элементарного пучка некоторые вычислители в СССР пользуются также и формулами М. Лаиге, бывшего сотрудником фирмы Герц в Германии; формулы были опубликованы в 1909 г. в диссертации М. Lange.
Рис. 122.
Формулы для расчета сагиттального пучка совпадают с формулами Кербера для той же цели. Для вывода формул меридионального пучка обратимся к рис. 122, на котором MS и MS' — падающий и преломленный лучи, идущие по оси меридионального пучка; Р и Р' — точки схождения лучей обоих меридиональных пучков. Опустим из центра С преломляющей сферической поверхности перпендикуляры CQ и CQ' на эти луни и проведем из точек Р и Р' линии РТ и Р'Т' параллельно оптической оси; Т и Т' — точки пересечения этих линий с перпендикулярами CQ и CQ'. Расстояния РТ и Р'Т' определяют положения точек Р и Р'; назопем эти расстояния буквами m и т\ а длины перпендикуляров CQ и CQ—букнами q и q'. Если г—радиус преломляющей поверхности,
i и L — углы падения и преломления, то
</ = rsini и <7' = г sin/'.
§ 7.i. Расчет астигматического пучка но формулам Ланге 215
Как и в предыдущем параграфе умножение первого уравнения на показатель преломления первой среды п и второго на показатель второй п' и закон преломления дают:
nq=n'q',
а следовательно, и
ndq — п dq
dq и dq'—изменения длины перпендикуляров при изменении углов г и /' и в то же время отрезки перпендикуляров между крайними лучами элементарного меридионального пучка (рис- 119 и 123).
Разделив первое уравнение на второе, находим еще один инвариант, а именно;
-?=?¦ ^ Умножим обе части уравнения на </<р и примем во внимание, что
d'j — da — dl— du' —- di’;
это дает:
q da q di __q du q’di’
~dq dq dq' dq ' 9
Как всегда, назовем длины отрезков OS и OS' буквами ? и s'; тогда длины гипотенуз SC и S'С треугольников SQC и S'Q'C выразятся разностями г—s и г — s', а длина перпендикуляров q и q' формулами:
<7 = (г — s) sin и и q' (г — s') sin и'.
Отношения и равны отрезкам PQ и P'Q', которые выра-
жаются посредством длин т и т! из треугольников PQT и P'Q'T’ следующими формулами:
^ — PQ — т cos и и —P'Q== m'cos и'.
Найденные значения подставляем и первые члены обеих частей
уравнения (73,2); во вторых членах заменяем q и q' их значениями
по формулам:
q — г sin i и q' — г sin Подстановки приводят к следующему уравнению:
О---s) sin а . . (г — s') sin и
-------------tgf l —---,----,-----tcf ; .
m cos и ° m cos u
Уравнение может служить для вычисления величины in!, если известна величина т; напр., для преломления через поверхность с номером к после приведения к логарифмическому виду разности tg¦?/—' ц нахо-
ДИМ*
246 Глава VII. Триюнометрический расчет м/чей в центрированной системе
Для вывода формулы перехода от одной поверхности с номером k к другой с номером к -+-1 обратимся к рис. 123, на котором Рк — точка схождения лучей меридионального элементарного пучка после преломления через поверхность с номером к; Тк(Х' — перпендикуляр из центра Ск на направление луча Мк St'i отрезок Рк! 1к равен тк. Если ив центра C*+i следующей поверхности провести перпендикуляр С*+1 Qi+i к тому же лучу Mj.Sn.1, то отрезок Р/Тц+г равен т*-ц.
Очевидно, что
•»+1 = mt dt, (73,4)
m
где dk — расстояние Oi Ot Hi между вершинами сферических поверхностей.
Если одна из преломляющих поверхностей системы плоскость, то формулы (73,3) и (73,4) теряют смысл, так как для такой поверхности
отрезки делаются бескойечно большими. Если номер поверхности к, то в этом случае необходимо иметь формулы перехода от величины к величине mi+1; такую формулу можно вывести из соответственной формулы (72,20). По определению величины установленному при выводе формулы (72,12), имеем:
4b=nl:dqk—nk' dq/.
С другой стороны, величины тк и тк связаны с теми же отрезками dqk и dqk соотношениями:
™ —'кк. 1 „ т>___f lii. 1 .
* dii). cos щ * <1щ сое щ
Из сопоставления всех четырех формул находим:
Ъ=п*со5и*Л* га*
и
Vi ~ П*+1 C0S “i-И duk+1 mi •
# 73, Расчет астигматического пучка но формулам Ланге 247
На основании этих формул находим для подстановки в уравнение (72,20) следующие выражения:
Ik-, 1 " ПМ COS 1 duk+l Щ: ,-1,
Та—i -= nkcos Щ duk Ч-1 •
Одновременно исключаем из уравнения (72,20) и <Л_i, пользуясь формулами:
dk—\ Sk—i st)
dk ~Sk Sk+1 5
и принимаем во внимание, что
nkcosukduk = nk+t cosat+,t/ui+1; все это приводит к уравнению:
— (т4_, — г*,, -+-5Л_, — sj -н (ri+, - н s, — sA+1) н-
k+l «Ч-И
Для плоской поверхности (рис. 121) имеем:
sk Щ = S*' Ui+J; П* sin ut = nA+J sin u*+1;
П, COS = nt+1 COS Ц4+1 </иЫ1.
Из этих уравнений выводим, что:
duk
__ tgBi _ _ч'_ л duk+1 tg at+1 Si
С помощью этих уравнений приводим найденную формулу для mk+l к следующему виду:
Si-
ИЛИ
—К-i — rk-,н- СО — st+i) *- < (^2 “t+1 — *га uk) (73>5)
ni+l== t"1*-1 s*-l) "+~ (r*+1 s*+1) 4~
(73,6)
Обратимся снова к общему случаю и выведем формулы для вычисления координат х'т к и у'щк точки схождения меридиональных лучей.
На рис. 123 х'т k = OkNk и ym,k = P’kNk-, проводим из точки Sk линию
