Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантное при данном преломлении произведение nkdqt, равное п* d<h', обозначим буквою у*, т. е.
— nkd9k-
Подст&вляя эти обозначения в формулу (72,10), получим:
cos ~0У —'*)
S 5> пк пк ? Т*
о*ч-1 Г7=- ----------;— ' ----------i------------- -------п-------. ¦}
л**, Пс 1 COSI* ®osl*
2"
(72,12>
ИЛИ
Рис. 120.
sin (iY — it) fit
* ___. 5lnW—*w Tit
к «-J * nt' rk sin if.’ cos it' cos 4 ( > ^
•ели воспользоваться формулою (66,4) для приведения п cosГ—пcos/ к логарифмическому виду.
Формула (72,11) после подстановок принимает вид:
ТГ»4.1 “ V» (/•»+! — rt *- dk) nk+l cos а/ Ь1.
(72,14)
Расстояния ?m,i и #m,i точек схождения меридионального элементар-•ого сучка по оси пучка от точки преломления ло формулам (72,8) я (72,9) выражаются следующим образом:
Tit
§ 72, Расчет астигматического пучка по формулам Кербера
239
В эту формулу входит отношение малых* величин yt и <Vh> определяющих элементарный пучок; вместо того чтобы вычислять предел этого отношения, как это делается npsi выводе формул нга, можно сохранить эти формулы без изменения, вычисляя эти величины по формулам (72,12) и (72,14) и выражая их в произвольных единицах, выбранных для их значений в первой среде.
Если в первой среде пучок лучей выходит из бесконечно далекой точки, то f>, = 0; удобно принять, что
У, =n1 dq-f = 1;
формула (72,13) дает значение ^2. которое подставляется в формулу (72,14) для вычисления у* и т- Д- До последней преломляющей поверхности.
Если пучок лучей в первой среде выводит из точки, лежащей на конечном расстоянии tm, i от точки первого преломления, то можно принять, что
*1=1;
т»гда первая из формул (72,15) дает:
# V.
tm, 1 = Г, COS Z,-— 1
ИЛИ
Tl ~ n\ (rl COS h-(72,16)
Если система имеет р преломляющих поверхностей, то по выходе пучка из системы после последнего преломления расстояние t'm точки схождения крайних лучей на оси от точки преломления выражается формулою:
tm =rcosi'----------• (72,17)
т-р р р пр+хор+1
Координаты точки схождения лучей меридионального пучка х'т и р могут быть вычислены по формулам (71,14); нужно преобразовать эти формулы, подставив вместо t'm его значение из формулы (72,17) вместо kp равное ему rJ)sin(u/,/ — i') и восстановив значение второго слагаемого в первой формуле подстановкою вместо него г (1 — cos ф). После простых преобразований получим:
п ¦ ¦ ,s Гр cos ц,,
хт = г (1 — sm sin ы„)-------------------------«--->
> »' Ир+10р-4-1
1Р sin “я' • .,
= cos^-
(72,18)
Если одна из преломляющих поверхностей системы плоская, то формула (72,14) теряет смысл, так как при возрастании радиуса гм до бесконечности у4 г также растет беспредельно; поэтому необходимо иметь формулу для перехода от величины у сферической поверхности, предшествующей плоскости, к величине у поверхности, следующей я а плоскостью. Положим, что для поверхности с номером k— 1 величина yi—1
240 Глава VII. Тригонометрический расчет лдчей в центрированной системе
вычислена; напишем для к* и Yt+i их выражения по формуле (72,14) я исключим y* из обоих уравнений; это дает:
у*+1=Tfc-i irk—ri~i ¦+¦i) «*cos “tdu*
¦+• (r*+1 —-+~ dk) n*+lcos «*« dak+1
или
Vt+i =rt-i+ K-i n*+i c°s “*+i <4 n —(r*-i—dk-i) ntcos «* ^
-+- r* (nt cos щ duk — nt+1 COS uM duM).
При возрастании rk до бесконечности абсолютная величина разности в скобках беспредельно убывает, так как углы щ и и4+1 беспредельно приближаются к углам il: и гк падения и преломления, и, когда
Щ — h и a*+i”*V*
обращается в нуль но закону преломления; таким образом последний член уравнения при возрастании гк до бесконечности делается неопределенным. Для раскрытия этой неопределенности производим следующее преобразование, причем для краткости обозначаем последний член буквою М, т. е. полагаем, что
М= rt (пк cos ик duk — пк м COS Ul+1 duk+l).
Очевидно, что
М= d(n-K rk sin ик — пк+1 rk sin ui+1); заменяем ик и ик+1 их значениями согласно формуле (60,6)
M-^d\nkrk sin -+- /,) — nk+l rk sin (?, *+" i‘)\.
Заменяя синусы обеих сумм их обычными выражениями и пользуясь законом преломления, находим:
М~ d\nkrk sin Фк cos 4 — nt+1 rk sin 9k cos ik\.
Так как
г* sin 9* — htf
где hk— расстояние точки преломления оси пучка от оси системы, те
М— d \hk Iя* cos4 — Щ, 1 cos
При беспредельном возрастании радиуса гк высота hk стремится к определенному конечному значению, а углы ik и гк делаются равными ut к икл.. Выполняем дифференцирование: 4
М~ (пк cos г\ — n*+1 cos 4') dhk-+- hk (як+1 sin ik' dit' — nk sin it dik) или в пределе:
M—(nk cos u, — nk+l cos Uk^)dhk hk (n#4, sin uk+iduk+, — nk sinubduk).
$ 72. Расчет астигматического пучка по формулам Кербера
241
На рис. 121 представлен ход меридионального пучка при преломлении через сферическую поверхность с номером к — 1 и следующую за ней плоскость с номером к. Как всегда, вводим следующие обозначения:
Ок_хОк = dk_x: Ок St_{ = sk; OkS;=s'k:
из рисунка ясно, что:
hk = htS^k==si,tg ц*+|;
Sh ” ' Si—1 dk_i-
Дифференцирование первого из этих уравнений дает:
dht = Ьу ut dsl: i - sk sec2 щ dut; (72,19)
в силу второго уравнения: Уравнение (60,2) дает:
