Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
n1 у/ sin u' nys sin и
Числитель правой части приводим к логарифмическому виду по формулам (66,3) и (66,5); все буквы отмечаем значком к, указывающим номер преломляющей поверхности, н обозначаем правую часть одной буквою Р$ sto дает;
1 1
sin Ut — гц)
(п* —я*') cos -у- («V — it)
Гк tii sin V sin щ sin к*' , 1 ,., . . . . . ,
* cos 2 (/* smut Sin at
(71,4)
§ 72. Расчет астигматического пучка по формулам Кербера
255
Применяя уравнение (72,4) последовательно ко всем преломляющим поверхностям системы от первой до последней с номером р, получаем р уравнений:
,_________1 _____= /».
niW,is|nai ni^s.isinui 11
1 1 р.
2»
Г I
"2 У», 2sinu' "2*, 2 sin u2
1
"р ^р SIn ир npSs, р Sln ир
-Р,
Каждый первый член левой части какого-нибудь из этих уравнений равен второму числу левой части следующего уравнения, так как для какого-нибудь номера к имеем:
= ni+i> Уь = St+x'>
Поэтому, если сложить все уравнения, то равные по величине члены сократятся, и в результате сложения получится уравнение:
1
к-р
Пр У*, р sin и',
«10#, 1sin «I
1
sin (iV-
щ sm г j; sin щ sm щ
(nk — nk) cos -2- (;'/ — 4) _ i
Щ Щ1 rk COS -yOY ik) sin щ sin щ
(72,5)
Если в пространстве предметов пучок лучей выходит из бесконечно удаленной точки, то угол щ не равен нулю, а координата у г равна с®, т. е. второй член левой части уравнения обращается в нуль.
После вычисления координаты уш можно вычислить вторую координату xs точки схождения сагиттальных лучей по формуле:
> = sp — У
(72,6)
s — расстояние точки пересечения оси пучка с оптической осью от вершины последней преломляющей поверхности; формула легко получается из второго уравнения (71,15) или непосредственно из рис. 118.
Наконец, из треугольника MP'N' на том же рис. 118 выводим для
расстояния / формулу:
*=(гр sin y—y's.p)cosec К-
(72,7)
б) Меридиональный пучок. На рис. 119 ОМл Мг — преломляющая поверхность с центром С; ОС—ось центрированной системы. Падающий элементарный меридиональный пучок МуМгР сходится
236 Глава VII. Тригонометрический расчет лучей в центрированной системе
в инимой точке Р, положение которой определяется координатами хт и ук~ положение луча М}Р определяется углом и и длиною q перпендикуляра QC, опущенного из центра С на направление М^Р; угол падения V, расстояние точки Р от Мх равно tm. Преломленный луч МгР' и преломленный пучок МуМ^Р' определяются совершенно так, как и падающие лучи; во избежание усложнения рисунка для преломленного пучка координаты точки Р\ углы и перпендикуляр из точки С не показаны; все эти величины обозначаются теми же буквами, но со значками наверху т. е. хJ, ут', Г, и’, tj и q'.
Угол расхождения элементарного пучка, очевидно, равен приращению
угла ы при переходе от луча МХР к лучу М%Р\ если назвать отрезок
перпендикуляра между крайними лучами пучка dq и радиус поверхности г, то из треугольяика MyQC находим;
tm = rca*i—^t (72,8)
так как длина PQ равна * Для преломленного пучка имеем:
C = rcosi'-^. (72,9)
Из того же треугольника MXQC находим;
(7=г sin/ и g,=rsini'.
Далее имеем по уравнению (60, б):
9= и—i = u’ — г' и du' — du — di' — di;
§ 72. Расчет астигматического пучка по формулам Кербера
237
по закону преломления Отсюда:
ri sin i' = п sin /.
riq' —nq и n'dq' = ndq.
Дифференцируя выражения для q и q', находим для di и di' следующие соотношения:
Если воспользоваться формулою (66,5) для приведения числителя дроби к логарифмическому виду, то уравнение примет вид:
формула дает возможность вычислить угол du, измеряющий расхождение между крайними лучами меридионального элементарного пучка, по известному углу расхождения du падающего пучка и отрезку dq перпендикуляра между этими лучами или, вернее, по величине ndq, остающейся инвариантной при данном преломлении.
Чтобы применить эти формулы для расчета хода пучка в оптической системе преломляющих поверхностей, необходимо установить связь между величинами при переходе от одной преломляющей поверхности с номером к к следующей с номером ?н-1. На рис. 120 в отличие от рис. 119 изображены две преломляющие сферические поверхности с номерами к и к-+-1 и центрами Ск и Ci+1; из обоих центров опущены перпендикуляры на ось пучка, равные qk' и qk+1', толщина среды по оси Ок Ot+1 обозначена буквэю dk. Расстояние между центрами Ск Ск+1 определяется формулою:
Проводим линию QkQk+i параллельно оси пучка PQk Q't+1; из треуголь ника Qk Qfc-Ы Qk+1 находим:
Умножаем обе части уравнения на показатель преломления среды, заключенной между поверхностями Оь и OklV т. е. на щ или на пк+1; зная, что
di= -d4. и di' =
Г COS I
поэтому
ИЛИ
du' — du~ —
п’ cos г’ — п cos i ndq
nri cos V cos i r
du' — du
ndq cos i' cos i
(72,10)
d4k+i—ftqk = Ки — ri dk) cos Uk'duk.
находим:
щ' dq/ = nkdqk, nk+i — nk d4k = nk и ('W1 — rk dk) cos ut duk • (72, 11)
238 Глава VII. Тригонометрический расчет лучей в центрированной системе
Обозначим угол расхождения между крайними лучами меридионального элементарного пучка после преломления через поверхность с номером k буквою $*+i, т. е.
K,.i=dut=da^i,
