Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнений (47,5) и (47,7) легко вывести:
;72 = (А2 —Ь ([Л2 — 1) ctgf2 0; ,
§ 47. Преломление лучей через призму вне главного сечения
125
или
(47,8)
Пользуясь векторными формулами и уравнениями, мы должны считать положительным направлением вращения направление протцв движения часовой стрелки. Поэтому на рис. 62, воспроизводящем в точности рис. 55, численные отметки всех углов имеют знаки, противоположные отметкам на рис. 55; кроме того, на рисунке показаны векторы нормалей п5 и п2, векторы проекций всех лучей на плоскость главного сечения, т. е. векторы: А', А" и А'", и все углы кроме преломляющего угла о. отмечены черточками наверху. Очевидно, что уравнения (44,1), (44,2) и (44,3) не изменяют своего вида при перемене знаков у всех углов, входящих в эти уравнения; в данном случае уравнения будут иметь такой вид:
Направление падающего луча А' вполне определено в пространстве, если известен угол между ребром призмы (вектором р) и вектором А' и угол между проекцией луча на плоскость главного сечения призмы и нормалью к первой грани призмы. На рис. 63 изображена призма и ее главное сечение AMN, в соответствии с рис. 62, и показаны векторы A', A', п: и р, а также углы Ь1г а и Если углы и /, заданы, то уравнения (47, 5), (47,7) или (47,8) и уравнения (47,9) дают возможность вычислить углы U.j и г.,', т. е. определить направление луча А'", преломленного призмою; формула (47,10) дает величину угла Ь между направлениями проекций А' и А'".
Угол dj может иметь значения в пределах от нуля до 180е; при крайних значениях его ;л беспредельно растет; но так как левая часть уравнения (47,10) не может быть по абсолютной величине больше единицы, то значение его [а не может превосходить некоторой определенной величины, т. е. для луча, преломляемого призмою, sin2 не может быть меньше некоторой определенной величины; лучи, для которых sin2^j меньше этой величины, не могут пройти через вторую грань призмы и испытывают полное внутреннее отражение.
Чтобы найти зависимость между углом Ь отклонения луча призмой и углом Ь между проекциями А' падающего луча и А'" луча, прошедшего призму, вычисляем скаларное произведение векторов А' и А'", пользуясь
х = — ч- ц, л — — ь // + // — г-> — — а — г, i- L
(47,9
sin = [I. sin г/, sin sin
Для угла отклонения Ь, как и раньше, находим:
(47,10)
126
Глава IV, Преломление через плоскость к системы плоскостей
их^выражениями по формулам (47,4); принимая во внимание, что Э, =$s и А/р = А'"р=0, находим:
А'А* = А'А" sin^j-f-cos2 3,.
Так как A'A"' = cos $ и А' А'" = cos S, то из этого уравнения следует:
В О
sin ^ = sin ^ sin Sj. (47,11)
Итак, угол отклонения & луча призмой всегда меньше угла S соответственного отклонения проекции луча на плоскость главного сечения. Кроме того минимуму угла отклонения ?>м проекции луча соответствует минимум угла §т луча, прошедшего через призму. Для нахождения угла отклонения проекции луча служат формулы (44,10) и (47,7), а именног
sini(a-
4) = |Asiny«=
fx sin $2 sin a sin
(47,12)
Зиая находим по формуле (47,11).
То обстоятельство, что величина зависит от угла ¦&], образуемого падающим лучом с ребром призмы, ведет к тому, что при рассматривании через призму бесконечно удаленной линии, параллельной ребру призмы, невооруженным глазом или при помощи зрительной трубы мы наблюдаем искривление изображения этой линии. Плоский пучок лучей, вышедших из различных точек такой линии и заключенных в плоскости, параллельной ребру призмы, после преломления перестает быть плоским, так как углы между проекциями преломленных лучей на плоскость главного сечения и нормалью ко второй грани, т. е. углы zV> неодинаковы для лучей с различными , хотя для всех падающих лучей углы г\ одинаковы.
Для исследования зависимости угла z2' от величины при заданном неизменном значении угла падения z\, можно из формул
(47,9) найти следующее выражение для
sin га
sin ц' = sin a V^ji2 — sin2
¦ cos « sin Zj.
Так как согласно формуле (47,8) ft имеет наименьшее значение, когда Ь1 = 90°, т. е. когда луч находится в главном сечении, то угол /V также имеет минимум при этом значении V Из второго уравнения (47,9) ясно» что угод 5 достигает минимального значения одновременно с углом г2'. Вследствие этого при“^рассматриваиии светящейся линии через призму, ребро которой параллельно этой линии, глаз виднт изображения точек
? 47. Преломление лучей через призму вне главного сечения
127
линии на различных расстояниях от какой-нибудь линии, параллельной ребру; можно доказать, что искривленное изображение прямой в этом случае есть отрезок параболы. (S. Czapski und О. Eppenstein [4]; Слюса-рео [1]).
Явление искривления изображений прямой линии призмой наблюдается в спектроскопах; спектральные линии призматического спектра всегда искривлены. Более сложные явления, связанные с дисперсией света и наблюдаемые в случае белого света при прохождении его через призму, будут рассмотрены ниже.
Для точек, находящихся на конечном расстоянии от призмы, явление преломления лучей через призму осложняется астигматизмом: гомоцентрические пучки лучей после прохождения через призму перестают быть таковыми; сферическая волна деформируется.
