Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Напишем уравнение, поверхности волны в таком виде:
F(x,y,z) = О, а уравнение сферы сравнения в таком:
<х-р'? + Ъ-1'У-ь? = Я2,
622
Глава XIV. Дифракционная теория изображения
где R — радиус сферы, равный ОС или PC. Назовем углы между нормалью MQ и координатными осями буквами а, ? и у; дифференцируя уравнение поверхности волны, находим:
дР , . дР , df , л &d*-*-b4l9~*'bdz-~0,
или
cos a dx -»¦- cos $dy-t- cosуdz — 0. (187,1)
Дифференцирование уравнения сферы дает:
(х—p')dx + (jj— F)dy-t-zdz=: 0. (187,2)<
Проекции отрезка / удовлетворяют следующим уравнениям:
х — x~lcos а, g—y~lcos%
Z — z~ /cos V.
Дифференцируя эти уравнения, находим:
dx — dx~ cos a dl—/sin а cfo, dy — dy~cos [3 dl — /sin (3d$, di — dz= cosуdl — /sin у d'-.
Умножив каждое из этих уравнений последовательно на cos a, cos [J и cos у и сложив их, получим:
(cos а <?г-ь cos ? dy -+- cos у dz) — (cos 7.dv t- cos |3 dy cos у dz)—
= dl—-j Id (cos5’ cl + cos2 pcoss y).
Приняв во внимание уравнение (187,1) и то, что в правой частив сумма квадратов в скобке всегда равна единице, находим:
dl~ cos я dx +- cos dy +- cos у dz.
Так как нормаль MQ проходит через точки Р и Q, то косинусы^ углов «, ,3 и у можно представить следующими формулами:
р’--X
cos а =5
cos [i -
PQ Г -t-bg' — у
8 G’—z
COSY"-----1=.—>
' PQ
Если_вместо длины PQ подставить в правые части этих формул длину PC, т. е. R, то полученные значения будут мало отличаться
§ }87. Изображение точки вне оси системы в случае аберраций
623
от косинусов; подставляя эти приближенные значения в выражение для dl, принимаем во внимание уравнение (187,2) и приходим к формуле:
Обозначив угол между осью лс-ов и главным лучом ОС буквою я/, находим:
р' — R cos w,
и следовательно:
rf/==eW^
Чтобы найти волновую аберрацию I в данной точке поверхности волны, нужно вычислить определенный интеграл в следующем выражении:
р
l= ^ J № d~y *G' d5>- <187» з)
о
Если обе слагающие аберрации <V и известны как функции координат т! и М точки пересечения луча с плоскостью выходного зрачка (§ 125), то вместо координат у и z можно взять координаты т и М и выполнить интегрирование. Вычисление величины I затрудняется тем, что определение коэффициентов в разложениях и Ь(3'
с достаточным числом членов, т. е. с членами не только третьего, но также пятого, седьмого и высших порядков, требует большого числа тригонометрических расчетов внемеридиональных лучей; поэтому такого рода расчеты редко могут быть выполнены.
Из формулы (187,3) легко получается формула (185,1) для точки на оси; в этом случае 8G'=0, a og'—поперечная сферическая аберрация—может быть выражена в зависимости от продольной аберрации os' формулой:
ss t »Ss' ч , uSs' hg =«?- ИЛИ bg' = *jr;
подстановка приводит к формуле (185,1).
Зная разность хода / (волновую аберрацию), можно написать выражение для элементарного светового возмущения в какой-нибудь точке и найти амплитуду колебания в этой точке интегрированием по всему выходному зрачку совершенно тем же путем, какой уже дважды был представлен в предыдущих параграфах. Однако вычисление определенных интегралов в этих случаях является весьма сложным; это обстоятельство, а также ранее указанные трудности нахождения функций bg1 и ЬС привели к тому, что распределение освещенности в изображениях внеосевых точек было вычислено только в простейших случаях аберраций третьего порядка. Как и для изображения точки на оси, обнаружилось, что распределение освещенности в изображении внеосевой точки мало напоминает распределение точек пересечения лучей геометрического пучка с исследуемой плоскостью.
Примером может служить рис. 256, на котором изображено распределение освещенностей и геометрическая фигура комы для случая чистой комы третьего порядка. На рисунке имеется окружность с двумя каса-
624
Глава XIV. Дифракционная теория изображения
тельными, пересекающимися в точке на главном луче, как на рис. 226,
и, кроме того, вычерчевы кривые равных освещенностей; эти кривые не суть круги. Вместо кружка Эри мы имеем овальное пятно с несимметричным распределением освещенностей; точка с наибольшей освещенностью сдвинута к краю пятна; за точками с минимальной освещенностью, отмеченными пунктирной линией, следует второе светлое пятно неправильной изогнутой формы. Нет возможности предугадать подобное распределение, подтверждаемое на опыте фотографированием, на основании фигур комы на рис. 2?б.
На рис, 257 представлены кривые равных освещенностей в сечении пучка, обладающего астигматизмом в слабой степени; сечеиие пучка произведено плоскостью, перпендикулярной главному лучу и расположенной вблизи точки схождения элементарного меридионального пучка. Меридиональная плоскость вертикальна; астигматизм обнаруживается
вытягиванием светлого пятна в направлении, перпендикулярном меридиональной плоскости; картина вполне симметрична относительно главного луча, так как кома отсутствует. Две замкнутые кривые вверху и внизу ограничивают место с минимальной освещенностью (темнота). Волновые аберрации нигде не превосходят четверти волны, т. е. требование Рэлея удовлетворено.
