Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 185. Связь между сферической аберрацией и разностью хода параксиальных и краевых лучей
На рис. 252 ОМ представляет сечение плоскостью рисунка поверхности волны, вышедшей из оптической системы с осью ОА и вследствие сферической аберрации отступающей от сферы; MB— нормаль к этой поверхности в точке М, т. е. луч, пересекающий оптическую ось в точке В под углом и'. Для вычисления освещенности в точке А на оси необходимо знать разность фаз колебаний, пришедших в эту точку из точек поверхности волны М и О, т. е. знать разность хода МА — ОА и выразить эту разность в долях длины волны. Если точка А есть фокус параксиальных лучей, то отрезок АВ есть продольная сферическая аберрация н обычном смысле; если точка А не есть гауссово изображение, но лежит вблизи него, то отрезок АВ также может служить мерою аберрации, хотя при этом начало отсчета расстояний изменено; назовем отрззок АВ символом §s'. OQP — сферическая поверхность с центром в точке А, имеющая в точке О общую касательную с поверхностью волны н общий радиус кривизны R\ сфера представляет идеальную поверхность волны, соответствующую гомоцентрическому пучку с центром в точке А, и служит для сравнения с ней поверхности волны ОМ. Отрезок MQ, длину которого обозначаем буквою /, измеряет разность хода лучей от точки М до центра сферы А по сравнению с длиною луча ОА\ эта разность хода
6)6
Глава XIV. Дифракционная теория изображения
определяет разность фаз колебаний, пришедших в точку А из точек сферической волны и аз точки М деформированной поверхности истинной волны.
Поместим начало координат в общую вершину О обеих поверхностей и обозначим координаты точки М буквами у т& х\ очевидно, что
так как угол а дополняет до 90° угол между касательной к поверхности волиы в точке М и осью дг-ов. Из треугольника МВС находим:
заменяя ВС равной ему суммою R—дг-ь получим из последнего равенства:
Решаем уравнение относительно dl и заменяем dx его выражением через dy; »то дает:
BC=yctgu'i
у М
О
D A bS' В
ГX
Ряс, 252.
Решаем это уравнение относительно 8s':
_ (дг — R)dx-*-ydy __ 1 ' d[(x — Rp +-|r4]
°S — dx ~ 2 " dx
можно написать:
8s' ydy
(R + l)\R — x + l*')
§ 785. Связь между сферической аберрацией и разностью хода лучей
617
При малых значениях угла и' величина х мала по, сравнению с R; величины I и bs' также суть величины малые по сравнению с ним; пренебрегая этими величинами в знаменателе и полагая, что произвольная точка О помещена во второй главной точке системы и что точка А есть фокус системы, находим приближенную формулу:
J7___ os'ydy
dl~ f— ’
так как при указанных предположениях R—f— второму фокусному расстоянию системы. Чтобы найти волновую аберрацию I в какой-нибудь точке М поверхности волны, зная 8s'—продольную сферическую аберрацию для всех значений координаты у, нужно вычислить определенный интеграл в следующей формуле:
у
I = у» J У gdg, (185,1>
о
где Ъ — координата крайней точки пучка.
Если точка О находится в вершине последней преломляющей поверхности, то R — st' a y — hk — высоте точки преломления луча через
последнюю поверхность с номером к. Так как —т — цЛ где щ — угол
между лучом и осью системы, то вместо формулы (185,1) получим:
/=± ( Wc/(u'2). (185,2)
О
Если сферическая аберрация Ss' представлена в виде алгебраического выражения— многочлена с четными степенями у, то интегрирование в формуле может быть выполнено, и разность хода I получается вч виде многочлена с четными степенями у, начиная с четвертой. Можно свести задачу об интегрировании в формуле (185,1) к графическому вычислению площадей или к определению их планиметром; для этой цели удобнее представить §s' графически в зависимости от аргумента у2, для чего на оси ординат нужно отложить значения уг и на оси абсцисс соответственные значения 8s', а формулу (185,1) иаписать в таком виде:
1 ^ l~2_Т* J
о
Часто величину I выражают в долях длины волны, т. е. вычисляют дробь -у •
Для примера применим формулу (185,1) к случаю двойной склеенной, лиизы, рассмотренному в § 117. В этом случае продольная сферическая, аберрация 8s' была представлена в таком виде:
618 Глава XIV. Дифракционная теория изображения
В применении к данному случаю в формуле (185,1) нужно положить, что g--~ h к у~Н) после интегрирования находим:
/ № / °;22 /,* 022 /i6_\
‘—'Г I . ’ Я! 6 ’ №/*
Так как Н~ 10 и f 79.563, то для длины волны X, равной
0.589 • 10-:i мм, формула принимает вид:
Х^0.979(^),-1.475(|)‘.
Вычисленные по этой формуле значения разности хода лучей в долях длины волны для различных значений величины \ приведены в нижеследующей таблице:
h 1
Н А
0.3 0.01
0.5 0.075
0.7 0.235
0.9 0 45
1.0 0.50
Те же результаты изображены графически в виде кривой на рис. 253; волновая аберрация на краю пучка доходит до полуволны. Результат получен в предположении, что центр сферы сравнения находится в фокусе системы, т. е. совпадает с гауссовым изображением бесконечно далекой точки. Но из предыдущего мы знаем, что плоскость наилучшей установки не совпадает с гауссовой плоскостью; поэтому для оценки значения аберраций системы следует вычислить волновые аберрации, приняв за центры сферы сравнения другие точки на оси вблизи фокуса.
