Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Элемент поверхности волны dS в полярных координатах определяется; формулой:
dS = R2 sin <р df db пользуясь последней из формул (183,1), находим:
___Р ___ pt/p rffl
— cos ч> “ p2~*
У л*
Чтобы найти деформацию Us как результат сложения всех деформаций, пришедших в точку N из всех точек поверхности волны, нужно выполнить интегрирование по следующей формуле:
f=p 0=2ic
U„=x J I / <'ВД
p=o*=o \ *
Разлагая в ряд по формуле для бинома Ньютона отношение т~г ’
со»:
находим:
Отношение всегда малая величина; даже для объективов со зяачи-
2р л .
тельным относительиым отверстием, например, когда -уг—“?- = 1:4,.
на краю выходного зрачка дробь 2^~ 0.008; поэтому можно принять, что cos (р = 1 для всех точек поверхности волны; значение интеграла U# при этом изменится очень мало.
Так как г мало отличается от R, то можно заменить его в знаменателе под интегралом буквою R и вывести из-под знака интеграла. Для: замены г в скобках под знаком синуса преобразуем формулу (183,2)^. заменяя sin 9 равным ему отношением р: /?; это дает:
r=R— -t?-cos&;
§ 183. Иаэбрамение светящейся точии в случае идеальной системы 605
после подстановок н замены синус», по обычной формуле нипдим для следующее выражение:
При интегрировании по переменной 3 от нуля до 2я второй интеграл обращается в нуль, так как каждая пара элементов суммы, соответствующая значениям 9 и J + ir, взаимно сокращается; действительно:
cos 9 = — cos ($ -ь 7и) н sin cos =—sin (~j^- cos (ft -+- ir)j •
Остающийся двойной интеграл может быть вычислен при помощи функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядка /0(г) и Jt (z). Эти функции можно определить следующими формулами:
^ в=2п
Л (г) =2^ } cos (z cos») А*
J1(z) = -^ I cos (z sin d — $)t/d.
»=0
Обе функции могут быть представлены в виде бесконечных сумм такого вида:
г / ___л 2* I ** **
J0(z)~ I 2.2“*~2-4-^-4 2-4-6-2-4.6"1-*''’
г / » 1 г2 г* г6 \
1 ( ) 2 Z I 2 • 4 2 • 4 • 4 • 6 2*4»6-4-6-8 }*
В формуле для Us введем следующее обозначение:
2тотр
Z~~~W' >
после подстановки находим:
01 2к
UN=asia2n(-j?—*) J \ cos(zcosb)^ dzdb,
о о
или
*1
tf,=esin2* (-? — ¦?)/ 2^«Л(г)
6%
Глава XIV, Дифракционная теория изображения
верхний предел z, определяется формулою;
2то;
Ш
—S3-• (183,4)
где р — радиус выходного зрачка.
При помощи вышеприведенных формул для функций Jg и в виде сумм легко проверить следующее тожество:
z/0 (z)~J1 (г) -t- г/,' (г).
Умножая обе части на </г и интегрируя в пределах от 0 до zlt находим?
Таким образом:
J zJ0 (z) dz — ] d (zJj (г)) = z3 Jx (zx).
иг=я.> ш2х(4-Д)л(^-)- das, 5>
Энергия колебания в точке N пропорциональна квадрату амплитуды и определяет величину светового потока через единицу площади в этой, точке; называя ее буквой Е, находим:
!*=^[л(^г)Т- U<»,6>
Величины, определяющие аргумент функции все известны, и потому значения функции Jx могут быть найдены по известным аргументам из. таблиц функций Бесселя или вычислены при помощи вышеприведенной бесконечной суммы.
Вычислим величину Ей в точке С, т. е. в точке, где находится геометрическое изображение; для этого воспользуемся разложением функции У, (z) в ряд и найдем предел величины Е, когда <т, а следовательно и Zj стремятся к нулю. Вычисление дает:
Е0 = (183,7)-
Примем Еп за единицу и выразим Е в этих единицах, т. е. найдем
отношение Е к Е0, которое назовем относительной освещенностыр
в данной точке и обозначим буквою Е'% находим:
«83,8)-
Таким образом, вычисление освещенности Е выполняется без всяких затруднений при помощи таблицы значений функции Бесселя первого рода первого порядка. Приводим таблицу значений величины ?' для различных значений аргумента z,, умножив их на 100, т. е. выразив, в процентах освещенности в точке на оси.
§ 183. Изображение светящейся точки в случае идеальной системы
607'
*1 Е' *1 Е' *1 Е' *1 Е'
0.0 100.00 3.0 5.11 6.0 0.85 9.0 0.30
0.2 99.00 32 2.67 6.2 0.56 9.2 0.22
0.4 96.07 3.4 1.11 6.4 0.32 9.4 0.15
0.6 91.54 3.6 0.28 6.6 0.14 9.6 0.08
0.8 85.03 3.8 0004 6.8 0.04 9.8 0.04
1.0 77.46 4.0 0.11 7.0 0.00 10.0 0.01
1.2 68.97 4.2 0.44 7.2 0.03 10.2 0.00
1.4 59.94 4.4 0.Й 7.4 0.09 10.4 0.01
1.6 50.75 4.6 1.24 7.6 0.18 10.6 0.04
1.8 41.75 4.8 1.55 7.8 0.27 10.8 0.07
2.0 33.26 5.0 1.72 8.0 0.34 11.0 0.10
2.2 25.55 5.2 1.74 8.2 0.40 11.2 0.12
2.4 18.79 5.4 1.64 8.4 0.42 11.4 0.14
2.6 13.12 5.6 1.43 8.6 0.40 11.6 0.16
2.8 8.56 5.8 1.15 8.8 0.36 11.8 12.0 0.15 0.14
Вычисления этого рода были сделаны впервые Эри (Airy) в 1834 г.;; ясно, что изображение точки, даваемое гомоцентрическими лучами, имеет вид пятна или кружка, называемого кружком Эри, с неравномерным распределением энергии, быстро убывающим с увеличением расстояния <т от центра кружка. Из формулы (183,4) следует, что
'=-тг-5" <183-9>
Отношение равно синусу половины апертурного угла и' со стороны-выходного зрачка, т. е.
Р__ • /
81ПЫ .
Так как хорошо исправленная оптическая система должна удовлетворять закону синусов, то в случае объектива и бесконечно удаленной точки согласно формуле (112,6) имеем:
