Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(т — y)3 — (т^ — y)s—V [y/(T“T)s—Y3(rP-y)3] — (Гр—r)[(rP~r)2(f-1)-+-
з (y—т) (y, —y) (ypy—i)-*-3 (y—y)s (r;—1)];
(f — Y)a (Yp — Y)!—-y bp (y — y)8 — f (y, — y)2] = =(Yp—Y) [2 (v — r) (Yp2 — 1) (Yp ~ Y) (YYp —1)3.
§ 181. Аберрации высших порядков и их классификация по Т. Смиту
Пользуясь переменными Смита, мы можем представить разложение углового эйконала в виде суммы целых однородных функций переменных А, В и С- Каждую из этих функций можно назвать эйконалом
(180,15)
Р Гр — Y р — р Г —Т
р "tp — т ’ р уР — т’
§ 181. Аберрации высших порядков и их классификация по Т. Смиту 597'
порядка 2k, если к— степень однородной функции; соответственная группа членов разложения аберраций имеет порядок '2к — 1 относительно малых, координат точек луча в плоскостях предметов и одного из зрачков, например относительно координат I, L, т и М.
Т. Смит в своей статье (Т. Smith [3]) представляет айконал порядка 2к в виде такой суммы:
W^fc5fi5:L'4'<-B)’C'. (181,1)
В этом выражении р, q и г принимают все целые значения от нуля до к, но р-*- q-*-r = k; f — фокусное расстояние; cpiqlr—множитель, общий всем членам эйконала порядка 2к. Число членов эйконала равно ~2 (к -4- 2) (к -+- 1); число независимых аберраций порядка 2к — 1 равно
этому же числу, но одна из этих аберраций относится к центру выходного зрачка; в соответственном члене эйконала: р — к, q — О, г — 0. Поэтому число независимых аберраций в плоскости изображений на единицу уменьшается, т. е. оно равно
\ (к 2) (к -+-1) -1 = \ к (к 3).
Для зейделевых аберраций к —2; полное число независимых аберраций по этим формулам равно б, а число аберраций в плоскости изображений равно 5-ти.
Из членов разложения эйконала порядка 2к Смит выделяет группы их, образующие функции двучлена В2—4 АС, который обладает особенностью в отношении преобразования членов эйконала при изменении положения плоскостей предметов и входного зрачка. Формулы (180,3) дают выражения переменных А, В н С в зависимости от значений их при новом положении названных плоскостей; пользуясь этими формулами, находим выражение двучлена В2 — 4АС в новых переменных А, В и С. После выполнения всех действий получаем:
B2 — 4AC=(uv — wt)2 (5®—4АС)
или
В*-4АС= {^~2(В*-4АС).
Из этого следует: _______
В3 — 4АС №—4 АС (Тр-т)2 ~ (Чр-i?
или _ ___
В2 — 4 АС IP — 4AC
Р2 ~ Р ’
Заменяя А, В и С их значениями по формулам (176,1) или (176,2), находим: _
В^4АС=В^АС = _ 4//а (|и, _ ^ у)2 (Ш' 2)
Таким образом, при изменении положения плоскости предметов или входного зрачка степени двучленов В2—4АС ие изменяются; преобра-
598
Глава XIII. Эйконалы
зованне их сводится к умножению на квадрат отношения р: р’, если соответственные аберрации исправлены, т. е. если коэффициенты при степенях этих двучленов равны нулю для какого-нибудь положения плоскостей предметов и входного зрачка, то эти аберрации остаются исправленными для всех других положений названных плоскостей. Если луч остается в меридиональной плоскости, то в выражении эйконала отсутствуют члены со степенями двучлена В2— 4АС, так как в этом случае
и В* — 4АС=0
г" *
согласно формуле (181,2).
Для осуществления упомянутой выше группировки членов разложения углового эйконала порядка 2k Смит представляет это разложение в еле* дующем виде:
Е^П) = иа(А—JС)1 -л-и, (Л — vB-+- v* С)*-2(4ЛС~?V -ьи2(А — ъВч v‘1 С)*-4(4АС— ВУ-\-...ч-н- щ {A — vB-v- v С)*~* (4АС — Вг)1 -ь ...;
(181,3)
последний член разложения в случае четного k имеет вид иг (4АС—В3)9
а в случае нечетного k он равен ы. (А — vB-t-v* С) (4AC—В%)* ;
число членов в случае четного к равно —(? -ь 2) и в случае нечетного
-g-(?-b 1). Возвьппаем в соответственные степени все трехчлены в скобках и собираем в группы все выражения, имеющие общие множители вида и, т/; эти общие множители обозначаем символами вида с^х.
Каждое выражение, стоящее в скобках с множителем cj'l, и являющееся функцией переменных А, В и С, определяет независимую аберрацию; множитель cj‘2j есть коэффициент этой аберрации. Значок (г) вверху коэффициента определяет номер группы аберраций по Смиту, к которой относятся все аберрации с одинаковыми значениями (i) у всех множителей; число j определяет номер аберраций в каждой группе. Наименьшее значение i, равное нулю, определяет нулевую группу, не содержащую двучлена В2 — 4АС\ номера остальных групп совпадают с показателями двучлена В2 — 4АС.
Для эйконала 4-го порядка, определяющего аберрации Зейделя, к — 2; формула (181,3) дает
Ер = а0 (А — vB-+- v1 С)2 -+- и. (4АС — В2) = ср А2 -« ср АВ-+- с,т(2AC-t-52)+с4(°>ВС-*-ср С2•+* -ьС1^(44С—Щ.
(181,4)
В этом случае существует пять независимых аберраций 3-го порядка пулевой группы, из которых ср относится к центру выходного зрачка, и одна аберрация первой группы в плоскости изображений.
§ 182. Некоторые выводы U замечания об эйконалах
599
Сравнение коэффициентов эйконала Ej® в формуле (181,4) с коэффициентами формулы (176,9) и их значениями (177,8) и (179,9) дает:
С1(°)= 1 Т1
С2(«> = 1 Т‘
с3(0) = 4-1
п II 1
с5<°> = 1 Т1
схР) = 1 и
'12'
Х° S
