Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
'Рг'
Рг--
Для эйконалов соответственно выражению (173,2) имеем:
Е> = Ei0' + + \ V Ргг -ь
1 Qj ^ hi Qi-+-jb^Pl —6„3' Qj Rj J b33' R,*;
?,” = &.о j ?/P, +1 bt" Qt -+- 4 b3” R^ \bn"
Q2-*- <&*-*- jbl3''P2R«-*-±b2S" Q.R.-t-l-b^R,
Согласно предположениям:
1Л», = 1Л*5 4i' = v2; [*. = |л,; v = vl} v' = v2'.
Вследствие этого:
P= Pxi Q = 2 ([tj p.2 H- Vj v/); R = R2; Rj = Pj. Уравнения (173,3) дают:
V // iP / -H,
(178.1)
(178.2)
(178.3)
(178.4)
(178.5)
(178.6)
dV-i'
t
11
>
dE,,' _ dE{’ . ¦ дЕъ' __ dEf
Применяем эти формулы к эйконалам 2-го порядка, отбрасывая в разложении члены 4-го порядка и выше; это дает следующие уравнения:
Wth ViV=—(V' j** -+- fV);
Vv
i/V—(V'v2+i2"V).
590
Глава XIII. Эжоналы
Приняв во внимание равенства (173,5), находим:
f Ь*' l* ¦+¦ ip "[АГ / Ьч V bn' V7 . „ мч
—v^7~ i v> =v2=—T^dr' (178,7)
В дополнение к формулам (178,6) можно написать следующие соотношения:
п _ 2 WP-t-bfQ\ D _ V2 W С? V* Л _ о
6,'-*- 6/ ’ (61"-н63/)2 —/г;
b'Q + 2b,"R
Ья'
(178,8)
Так как конечная точка луча в первой системе, согласно условию, совпадает с начальной точкой его во второй системе, то
?¦„ = ?/+?¦/; (178,9)
ато уравнение может быть применено для эйконалов любого порядка; поэтому мы можем написать
bi Р Ь* Q -+- bs R=b}' PY -i- b2' Qt -i- b3' Rl -t~ b" P2-t~b2" Q2 -+- b3" /?s.
Заменяем все функции угловых коэффициентов их значениями по формулам (178,6) и il78,8), нрирюниваем коэффициенты подобных членов в обеих частях последнего уравнения и находим:
^1-------Ь,’ А». А<» &2-------
2__ V
6о"2
(178,10)
Формулы (178,10) могут быть проверены посредством применения формул (173, 9) и (173,10), дающих значения коэффициентов эйконалов 2-го порядка для рассматриваемых трех систем; при этом нужно при* нять во внимание, что
/' = — №. , Где Д ¦=-------плЫ.^1Ы.. .
Чтобы найти коэффициенты эйконала 4-го порядка сложной системы, вторично пользуемся уравнением (178,9), написав его в развернутом виде для эйконалов 4-го порядка, заменяем в правой части функции Р„ С?,, R, и Р2, Q2, R2 их значениями з зависимости от Р, Q, R согласно формулам (178,6) и (178,8) и приравниваем коэффициенты подобных членов в обеих частях уравнения. Указанным путем мы можем найти значение каждого из шести коэффициеЛов эйконала 4-го порядка сложной системы в виде линейных функций коэффициентов эйконала 4-го порядка обеих систем, образующих сложную; получаются довольно сложные и неудобные формулы. Это обстоятельство затрудняет вывод выражения углового эйконала 4-го порядка оптической системы центрированных сферических поверхностей из выражения эйконала для одной сферической поверхности, как это выполнено в § 167 для координатного эйконала.
§ 179. Зависимость между коэффициентами угловых эконалов
591
С другой стороны выражение углового эйконала 2-го и 4-го порядков для одной сферической поверхности получается без затруднений; вывод можно найти в книгах М. Борна [1] и Г. Г. Слюсарева [4]. Обычно, найдя выражения углового эйконала для одной сферической поверхности, пользуются этим выражением для нахождения эйконала Шварцшильда сначала для одной поверхности по формуле (175,3), а затем для системы сферических поверхностей по формулам (172, 1).
Ограничиваемся сделанными общими указаниями, не заканчивая намеченных возможных выводов.
§ 179. Зависимость между коэффициентами угловых эйконалов для плоскостей изображений и выходного зрачка
Формулы (160, 5) или (173,3) показывают, что узловой эй^Онал может дать координаты, относящиеся только к одной паре сопряженных плоскостей, например плоскостей предметов и изображений; для того чтобы получить координаты и аберрации в плоскости выходного зрачка, необходимо иметь второй эйконал для плоскостей обоих зрачков.
Назовем оптическую длину луча между основаниями перпендикуляров, опущенных из центров обоих зрачкОв на направление Луча, символом Е2<р; очевидно, что
Обозначим соответственные переменные Смита буквами Ар, Вр и Ср; из формул (176,2) следует:
р — Е2 — пр\ -+¦ п! р' V.
(179,1)
(179,2)
Из того же уравнения и уравнения (176,9) следует:
592
Глава XIII, Эйконалы
Разлагаем в ряды двучлены 1 — X и 1 — 1' и ограничиваемся членами 4-го порядка; находим:
ф(Л-в+сг,
-+- 8^-(тр A — T(f,B+fCf.
(179,5)
(179,6)
Подставляем эти выражения дчучленов в формулу (179,4); приняч во внимание формулы (1/9,‘2) и (..76,4), после в^ех сокращэлий получим:
\ еи Сг "J- ^12 ВС -*--JessB2-hj в13 ЛС-Н -J «23 АВ -+--j вз5 А* = Сц А* -+- у с12 АВ -+¦ сю 2?г -+- си АС-+-
5-Cs#5C-+--^-c3SC2-i-'g^-(i4 — 5+С)!—
Приравнивая коэффициенты подобных членов в обеих частях тоже* ства, находим:
«n=<^-^(i“);
®12 = С23 2рЗ (у2 1)*
*я —е«——*)?
е1Я= ci3~** 2^з (VTp” 1)> е23~С]2-4- 2^д (ГрЯ 1)>
— _i_JL Л_2>Г|
ея$ ci>'+'2^\ т/
Заменяя в формулах (177,8) все величины соответственными для эйконала ?г,Р, находим следующие выражения е^, е22 и т. д. в зависимости от зейделевых коэффициентов:
(179,7)
§ 180. Зависи ¦•'ость коэффициентов эйконала от положения предметов и зрачков 593
Последняя из формул (179,7) дает значение коэффициента сп, в дополнение к формулам (177,8), а именно:
