Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что коэффициенты углового эйконала менее удобны для характеристики оптической системы, так как обычные слагающие аберраций связаны с этими коэффициентами более сложными формулами, чем с коэффициентами координатного эйконала и эйконала Шварцшильда.
Некоторые подробности и замечания по вопросу о применении углового эйконала для вычисления аберраций 3-го порядка см. в книге Г. Г. Сдюсарева [7].
§ 175. Вывод эйконала Шварцшильда нз углового эйконала
Исходя из геометрического значения эйконалов координатного Ег и углового Ег% мы установили зависимость между ними в виде формулы (160,2); ясно, что эйконал Шварцшильда Еа одинаковым образом может быть получен из каждого из этих эйконалов; тем не менее, вторичный вывод его из углового эйконала представляет некоторый интерес, так как обычно, следуя Шварцшильду, эйконал Еа связызают с угловым эйконалом Е%.
Функция Е}, определяющая оптическую длину луча между точками предмета и сферы Шварцшильда, связана с угловым эйконалом Ег для сопряженных плоскостей предметов и изображений соотношением:
Ех = Е2 — л ([/./ -+- vL) ¦+¦ п' ([//1 -t- v* U) -+- v! р, (175,1)
Согласно формуле (173,2) угловой эйконал может быть разложен в ряд
такого вида:
E, = E^ + E^^Ef)-v-.............
каждый из частных эйконалов ряда является однородной функцией переменных |л, v, [// и v' соотвегстзенмогэ измерения. По теореме
Эйлера для эйконала 2-го порядка Е2<s> имеем:
2Е « = ® v -ь ’-ь ^ V1
<)[«. ^ 04 ^ dp' ^ ЙУ' V-
Заменяя частные производные их значениями по формулам (173,2), находим:
1 ' ' • гч
684
Глава XUI. Эйконалы
Поэтому разложение в ряд функции Е1 в формуле (175,1) можно и аписа ть в таком виде:
Ei = -t-rip' — ~n ((*/-bvI) -+-1 п'(У I' и- УI') -ь ?,(*) ч-
Зяаченне оптической длины, вычисленной по формулам гауссовой оптики, мы получим, отбрасывая все члены ряда, начиная с Е^; в полу* ченном значении, которое мы обозначаем символом (?^)0, исключаем переменные mlt Мг, Г, L\ пользуясь снова формулами гауссовой оптики, т. е. полагаем, что
Согласно формуле (170,2) вычитаем из уравнения (175,1) уравнение (175,2) и заменяем p., v, p.', v' их значениями в переменных Швгрц-шильдя но формулам (i70,1); после всех упрощений находэм для эйконала Шварцшильда следующее выражение:
Находим полные дифференциалы обеих частей уравнения (175,3) и снова приходим к уравнениям (170,4) и (170,5).
У Шзарцшильда и в обычных изложениях теории его эйконала фор* мула (175,3) является исходным определением функцж Е/, значение сложения углового эйконала Ег с добавочной функцией 2-го измерения от переменных /, L, т, и М' при атом остается невыясненным*
§ 176. Разложение углового аяконала по Т. Смиту
Как уже было сказано в § 174, ковффицненты разложения углового айкои&ла по степеням угловых коэффициентов луча, или точнее по функциям Р, Q н R от этих коэффициентов, неудобны для вычисления аберраций. Поатому Т. Смит, который в многочисленных работах по теории аберрации оптических систем всегда пользуется угловым эйконалом, применяет вместо этих функций другие переменные, также зависящие от угловых ковффициентов р-, v, и.\ м'.
(?’1)0= ?/»>-+- п'р' (Р -+- D) - ^ (Ш!-+- Ш’) ч-
+у(й"+Г) - \ п'р' v'2).
(175,2)
(р+р)-"(к;+ш)+
р
(175,3)
§ 176. Разложение углового эйконала по Т. Смиту
585
Определяем новые переменные следующими формулами:
(тя—Y)a 1
В=[yyp p-j (y-*-yp)Q-+-*]; c=^bP2P~yQ+Rl
(176,1)
Эти формулы отличаются от формул статьи Т. Smith [3] постоянными множителями, что в некоторых отношениях представляется более удобным.
Заменяя функции Р, Q и R их значениями по формулам (173,1), приводим формулы (176,1) к такому виду:
Л = [(т - ^+(г - V п
в[(yi*—'/) (г р t*—у') ¦+¦ (yv —v') (yp v —
={-^zr^[(YpH--^)2-b(Yp^-^n
(176,2)
Таким образом, угловые коэффициенты луча входят в функции Т. Смита только в виде двучленов:
YfA — [Л'; yv— v'; yp|J. —jj/; ypv —v'.
Для выяснения значения первых двух из этих двучленов найдем координаты точек пересечения луча с плоскостями предметов и изображений по заданным аначенлям угловых коэффициентов, применяя формулы 1-го порядка, т. е. формулы гауссовой оптики; в отличие от истинных значений координат назовем их букяами /в, L0, /0', L0'. По фор» мулам (173,5), (173,8) с применением формул (173,9) и (173,10) находим:
/o=/'(y,^—!J-'); 4>=/'(yv — v'); \ /17й ч\
4'=P/' - lOs W = p/' (yv _ v').|
Далее находим по формулам (170,1) координаты точек пересечения луча со сферами Шварцшильда в пространствах предметов и изображений, но пра этом вместо истинных значений координат /, /', L и L' подставляем в эти формулы гауссовы значения их по формулам (176,3); обозначим полученные_ таким образом значения искомых координат буквами: те, ти\ М0, Л/0'.
При выводе необходимо принять во внимание следующие соотношения:
/>=/(г„-т>: Р'= "/'^т~т> =-/•№,-» (176,4)
Обе формулы легко получить, применяя формулу (173,11) сначала к паре сопряженных плоскостей предметов и изображений, а ватем к сопряжен» ным плоскостям обоих зрачков.
536
Глава XIII, Эйконалы
Указанным путем находим:
