Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
области
В соответствии с изложенным в § 162 разложение в ряд углового эйконала Е2 может содержать лишь различные степени следующих трех угловых коэффициентов:
P=[a2-4-v2; Q = 2 (рУ -+- vv'); R = -+- v12. (173,1)
$30
1*лава ПП. Эйконалы
Ограничиваясь членами 2-го и 4-го порядка, инеем:
?,= Е^-*-~ bL Р-*-~Ьг Q-4-4- bsR+±bn bv, PQ -
1 1 1 i ¦ (l73’2) ~4 b^Q3-*—^ bl3HR-*--QR-+~-f 63S R2
Согласно формулам (160,5) для координат у, z, у1 а г' точек пересечения луча с двумя плоскостями, перпендикулярными оптической оси в пространствах предметов и изображений, находим:
__ . й^г. ________________ .
------------------- Tv ’ ,
эг « 1 (173,3)
В частном случае названные плоскости могут быть сопряженными.
Независящий от угловых коэффициентов член Ег(0) можно представить в таком виде:
??» = _ пх^ (FFI)+Л< ^ 5 (ПЗ, 4)
где хТ и х'г суть расстояния точек оси в дбеих плоскостях от фокусов системы, a (Ft4) — оптическая длина ос и между фокусами.
Пользуясь формулами (173,2) и (173,3) и ограничиваясь членами
2-го порядка разложения эйконала, находим для гауссовой области еле*
дующие уравнения:
n^=61fA-»-^{A/} nz = 6,v-*-Avi 1 (173,5)
п! у‘— — &.[*¦ — п'г'——6*v—63v'. f
Определяем на первых двух уравнений [д н v н подставляем во вто* рыв уравнения; это дает:
I / лЪа Й23 — ^1 ^3 . /
a9,=s—b,9-*- -fr, ^
Если коэффициенты уравнений (173,5) удовлетворяют условию:
к2 — Мэ = 0, (173,6)
то координаты у' и ? не зависят от направления луча; всякий луч, прошедший через точку с координатами у и г в пространстве предметов, проходит также и черев точку с координатами у' и z' в пространстве изображений: обе точки суть сопряженные в смысле оптики Гаусса. Обозначаем координаты этих точек буквами /, L, f и V и находим:
=
n'L'~—^L.
§ 173. Разложение угловою айконала; применение в гауссовой области
581
Назовем отношения сопряженных координат поперечным увеличением (S, для которого находим: ,
|>=т=т-=-;&; <173-7>
увеличение (3 одинаково для всех точек плоскости, т. е. обе плоскости суть сопряженные плоскости.
Для определения значения коэффициентов в разложении эйконала 2-го порядка без ущерба общности полагаем, что в уравнениях (173, 5) z = L = 0 и z' = L' =. О, т. е. что луч остается в меридиональной плоскости; тогда
п/=^(1 + 63 [//; j (173,8)
п' I' ~ — 62 а Ь3 [Л'. J
Если / и /' не равны нулю одновременно, то |i и |i' также не могут
одновременно равняться нулю при условии конечности коэффициентов
уравнения, т. е. эти уравнения непригодны для случая телескопической системы. >
Обозначив углы, образуемые лучом с оптической осью в обоих пространствах, буквами и и ы', для коэффициентов (i и находим:
[л = cos (90 -+- ы) = — sin и;
[л' = cos (90 + в') = — sin и';
в гауссовой области (/. = — и и \J-' — — ы'.
Среди лучей, проходящих через точки с координатами / и V, имеются такие, для которых:
Ш»
[л = _ы = 0; [1/ = ^ = — ы'
(л = — иа; = и' — О.
Для этих лучей уравнения (173,8) дают:
п1= — 62и^;
п' V = -+- Ьг «00-
Назовем отношение /': и<» первым фокусным расстоянием, а отношение 1:и' вторым фокусным расстоянием; из последних уравнений находим:
г_____. it _________________ I __ __ Ь%__
* л” ^ п
ИЛИ
b2 = n'f=-nf. (173,9)
Иэ уравнений (173,7), (173,6) и (173,9) получаем:
L __ nf ____
582
Глава XIFI. Эйконалы
где
*=-----f ; x,=—$f;
следовательно:
? = -Т = ~Т‘ <173’П)
Геометрическое значение величины х и х' ясно из рис. 133; это расстояние сопряженных точек на оси системы от обоих фокусов ее.
Таким образом, уравнения (173,3), определяющие основные свойства углового эйконала Брунса, в применения к эйконалу 2-го порядка приводят к исходным определениям и уравнениям гауссовой оптики.
§ 174. Применение углового эйконала для вычисления аберраций;
эйконал 4-го порядка
Из уравнение (173,3), определяющих основное свойство углового эйконала Брунса, вытекают следующие выражения обеих слагающих поперечной аберрации луча в плоскости изображений:
SG' = L' —?L = -
1 дЕ2 _ JL дЕ2\
п V ' п вц" ’
_1_ дЕ2 а
п' ~д'/ п ds>
(174,1)
Для нахождения аберраций 3-го порядка по этим формулам применяем формулу (173,2), дающую разложение в ряд углового эйконала с точностью до членов 4-го порядка; приняв во внимание формулы (173,9),
(173,10) и (173,11), убеждаемся, что члены 1-го порядка сокращаются, и находим:
8G'=i'-?i=-(^p)«P-(^p)v<3-(^,-sJ>|i)^_
- фч-ЭД ?/>-(*•(!?-?'3) ^
Эти формулы дают аберрации 3-го порядка в непривычном вэде — в виде целых функций 3-го измерения относительно ’четырех угловых коэффициентов; лля перехода к обычным зейделевым переменным I, L, т’, М' служат формулы:
(174,2)
§ 175. Вывод эйконала Шварцшильда ив углового эйконала
583
Из этих точных формул можно получить приближенные,, разлагая выражения X и V в ряды по формуле бинома Ньютона; так как в формулах (174,2) все члены 3-го порядка малости, то приближенные значения угловых коэффициентов можно взять с точностью до величин 1-го порядка и пользоваться формулами гауссовой оптики; для аберраций высших порядков необходимо применять более точные значения угловых коэффициентов. Выполнив указанные преобразования, мы получим выражения аберраций 3-го порядка в виде функций от переменных ЗгйДеля I, L, т! и М'\ коэффициенты каждого члена выражения окажутся линейными функциями шести коэффициентов эйконала 4-го порядка. Приравнивая эти функции коэффициентам обычных зейделевых выражений аберраций 3-го порядка, получим линейные уравнения, связывающие зейделевы коэффициенты с коэффициентами углового эйконала 4-го порядка.
