Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
______Pi fti ву!
«1
2»i'43;i3^pf
Pi Pi > /. «l3p2 "M6»
m: ( eSV ^ -b — e&> 5* 1
2 a®C*)-
82 /
После всех указанных подстановок оба выражения для щ по формулам (167,4), а также для тг2г и.2' по формулам (167,5) делаются тожественными; приравнивая коэффициенты подобных членов, находим искомые формулы:
Я6
564
Глава XIII. Эйконалн
(167,6)
Имея формулы для вычисления коэффициентов эйконала 4-го порядка сложной системы, состоящей из двух систем, можно найти формулы для коэффициентов эйконала сложной системы, составленной из трех систем и т. д. Можно по аналогии накисать формулы для коэффициентов эйконала системы, составленной на к систем, и затем, пользуясь формулами (167,6), доказать справедливость этих формул для системы, состоящей из k-t- 1 систем, т. е. дать строгое доказательство правильности этих формул.
Для таких общих формул вводим новые обозначения; ковффициенты системы ив к частей обозначаем символами a*1**, affi и т. д.; увеличения одной слагающей системы с номером / обозначаем и {3^; увеличения системы из всех слагающих с номерами от 1 до i называем (Зц () и Кроне того, вместо поперечных увеличений частично для упрощения формул вводим угловые увеличения: у,, у(ь), ур(и).
Указанным путем находим следующие формулы:
(167,7)
f 168. Координатный эйконал 4-го порядка для сферической поверхности 565
Указанный выше путь доказательства правильноста этих формул посредством перехода к системе с числом слагающих ?-t~l не представляет затруднений н потому может быть опущен.
§ 168* Координатный эйконал 4-го порядка для одной преломляющей сферической поверхности
Вычисление эйконала в виде ряда даже в простейших случаях связано с выполнением простых по существу, но очень громоздких преобразований. В качестве примера найдем выражение эйконала 2-го в 4-го порядков для одной преломляющей сферической поверхности радиуса г, разделяющей две среды с .показателями преломлевия п и п'.
Поместим начало координатных осей в вершину сферической поверхности и направим ось лг-ов вдоль оптической оси; назовем координаты точки преломления луча буквами у), Z, Напишем уравнение сферической поверхвости:
r? + ^ = 2rl — ?. (168,1)
Обозначим единичные векторы, определяющие направление луча в обоих средах, буквами А и А', а вектор, определяющий направление радиуса вферы в точке преломления, буквой Гх. Согласно закону преломления (12,2) имеем векторное уравнение:
п' А' — п’ Г] (A' rj) — пА — nrj (Arj). (168,2)
Переходя к проекциям векторов, находим:
' — 6 • . ч • . ?
— 1 + — г * г
-к:
А' г, — cosi' = ~ [X' (<; — г) -н ja' т) v' у;
Aiv = —-cos г = ~ [X (? — г) -+- у. г, -+- <];
здесь гиг' — углы падения и преломления; X, ;л, v и У, [a', v'— косинусы углов луча с осями координат. Заменяем векторное уравнение (168,2) следующими тремя алгебраическими уравнениями:
72' V (2г? - ?*) +п>'ч(г-?) + п' ч'Цг-1) = пк (2 rl - Р) -+--+- ЩЛТ, (г — I) -+- (г — I);
п V г, (г — с,)-*- п' [а' (г2 — V;2) — п' v' = пкт, (г — с) -ь TVJ. (г® — Г?)-71Vt?;
п' У ? (г — %) — п' [а' -+- п' v' (Г2 — ?2) = TlkZ, (г — I) — ny-rfc -+-ГIV (г2 — ?2).
Вводим для сокращения следующие обозначения:
А = п'У — тЛ; М = л'[а' — ли.; N = n'v' — nv. (168,3)
566
Глава XIII. Эйконалы
Пользуясь этими обозначениями и приняв во внимание уравнение (168,1), можно написать уравнения в такой виде:
А (т)8-н?2)-*- Mv)(r — 5)-hN^ (г — 0 = 0; А 7] (r-Q + M (г2 — Г,2) — Nv? = 0;
А К(г -1) — M^-+-N (rs - е) =0.
(168,4)
Эта система однородных уравнений имеет решения, так как определитель из коэффициентов его равеи нулю; эти решения можно представить в следующей форме:
г-1
_ _L_ '
"М ” N / *
где
/= + \/п'2 + п5 —2/11' (>-V •
Л
(168,5)
Чтобы получить значения координат $,?),? в зависимости от неременных эйконала, нужно все угловые величины заменить их выражениями в этих переменных. Зная координаты точки пересечения луча с плоскостью предметов (I,L, s), координаты точки луча в плоскости выходного зрачка (т', Мхр') и координаты точки преломления ?, ?, можно
вычислить оптическую длину луча, т. е. найти явное выражение эйконала, Чтобы облегчить выводы, решим сначала ату задачу для частного случая, когда плоскости предметов и изображений совпадают с плоскостью, касающейся сферической поверхности в ее верщиие, и когда плоскости Зрачков в обоих пространствах также совпадают и проходят через центр сферы. Выражение эйконала в общем случае может быть найдено по формулам (165,13) и (166,11), устанавливающим зависимости между коэффициентами эйконалов для различных положений плоскостей предметов и выходного зрачка.
Для указанного частного случая имеем:
s —0; s' = 0; р = 1; А-\ Y,^1; р^р'^г. (168,6)
Вводим обозначения:
Р —раестояние от точки пересечения луча с плоскостью предметов до точки пересечения с плоскостью зрачков;
/?j —расстояние от той же точки плоскости предметов до точки преломления на сфере;
/?, — расстояние от точки преломления до точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка в пространстве предметов;
Р' —расстояние от точки преломленного луча в плоскости изображений до точки его в плоскости выходного зрачка;
