Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Значения р.' и v' в виде функций от новых координат находим из урав-
Подставляем найденные выражения для \>/ и v' в правые части фор* мул (165,5), а затем находим т! и М' по формулам (165,4); при этом
(165,3>
т'— т' — М'=М,-^гСр'-р> (165,4)
UL ^
Применяя бином Ньютона для вычисления отношений у и yi получимt
нений (165,3):
(ж' — ?/) \а.ц АI-н а13 Ат! -+- а2С, В* I t- ass В* in' -ь
(165,6)
“•“Qgs С* I -I- flr33 С* /га7];
V' -1 (М'-Ю-t-^r [й12 AL-+- ais AM'-ь522В*L-ь
(165,7)
+ а.3В*М' ^щ3 C*L+a,s С*М'}.
§ 165. Зависимость коэффициентов коорд. эйконала от положения зрачка 557
ограничиваемся членами порядка не выше 3-го; в результате вычислений получаем:
m.=rrW^/lV-Cp,-pV^-^)A +
- я*- (f-2-Й <?*] -<?-/> »'[(!¦?-*- |>)л+
M,= PrW^^$L-V-p')L\?f-^;)A +
- р - /) М' [(j?-H ?) /4 ч- g? - i) 5* + (j H-i) C*] ¦
(165,8)
(165,9)
Имея значения m! и M', находим В* и С*, причем для этих величин ограничиваемся членами 2-го порядка; это дает:
2j?^DM.
С*-+-|В5*н-|В2 Л•
(165,10)
В дополнение к уравнению (165,6) выписываем на основании уравнений (165,3) второе выражение для у-' в зависимости от начальных координат т! и А/', а также оба выражения для
<У = —^7-^-+^7(а]2 А + % В* -+¦ а23С*) -+-^г(а13Л+а23В*+а33С*); (165,11) Р = —j (l—m,)—^l(a11 A -+- alf,B*4-a1:) С*) — -^(а1гЛ + a22 В* -+- а23 С*);
[*• = — iin) — /(ап Л-+-а12В*¦+¦ а13С*) —
" ' |5да
(ai2 Л -4- а22 В* ь а,3 С*).
т /— п
(165,12)
Подставляя в формулу (165,11). вместо т', В* и С* их значения по формулам (165,8) и (165,10), получаем формулу, тожественную с формулой (165,6); приравнивая коэффициенты подобных членов, находим выражения пяти коэффициентов эйконала 4-го порядка для нового положения выходного зрачка кроме коэффициента аи. Для нахождения этого коэффициента выполняем те же подстановки в первой из формул (165,12) и сравниваем коэффициенты членов с произведением Л/ в обеих формулах.
558
Глава ХМ. Эйконалы
После простых, но длинных преобразований находим:
р'Цр' _р')2 2>* (165,13)
в*-*-'----р'Г1— азз5
Если в формулах (165,13) заменит» все коэффициенты эйконалов их выражениями по формулам (164,10) в зависимости от зейделевых коэффициентов, то мы получим формулы (135,2), выведенные непосредственными преобразованиями, носящими несколько искусственный характер; изложенный вывод этих формул из свойств эйконала можно считать более естественным и логичным, но он требует выполнения более длинных вычислений.
§166. Зависимость коэффициентов координатного эйконала 4-го порядка от положения плоскости предметов
Положим, что плоскость предметов перемещена и находится на расстоянии s от первой поверхности оптической системы; новое значение координатного эйконала Ех отличается от прежнего Ег на оптическую длину луча между обеими плоскостями предметов, т. е.:
Ограничиваясь в разложении эйконала членами порядка не выше 4-го, согласно формуле (164,1) имеем:
плоскости изображений.
Эйконал Ег для первого положения плоскости предметов может быть приближенно представлен такой же формулой, в которой все буквы ее имеют черточек сверху.
(166,1)
-+-уа]2Л В* н 15м5«-ь 1 ъ3~АС*ч-±ъ3В* С*ч-±агз С*%
где A~P-tr Z,2; р=х—s; (j — увеличение в новой
§ 166. Зависимость коэффициентов коорд. эйконала от положения предмета 559
На основании 1-й и 3-й формул группы (164,4) можно написать
_ » (1 1 _Л дЕ1ш___ « // 1 _Л dEi{i> .
п^—~Т[1~Грт1----------W~-~7\l-rpm)------------
dl ’ dExW
(166,2)
Чтобы превратить эти уравнения в тожества, нужно в правых частях их подставить вместо /, L, А и В* их выражения в зависимости от I, Lr А и В*.
Первое из уравнений (164,2) дает:
р ____т — /
~г
р ____т — I
> Т‘ '
[X 7 А (А 1
р М — Z P М — L
’ X
Исключая из этих уравнений т и М, находим
1=Т-*-^-(р — р);
L=L+±(р-р).
(166,3)
Так как производные
dExW dEjW
dl
суть величины 3-го порядка отно-
сительно параметров I, L, тп! и М', то при замене точных значений / и L приближенными необходимо вычислить их также с точностью
_ IX V
до величин 3-го порядка. Для отношений у и у применяем разложе-, мие по биному Ньютона:
-^-=v/r^==S^-b-|ix(^-> ^); -f=v + jv(^a+v2). (166,4) Согласно формулам (166, 1) и (166,2) имеем:
р.= -у(1-±т’)-±(апА + а1гВ* + а1гС*)Т-
----- (а12А -+- аи В* -+- аг, С*) т1;
аналогично получаем:
v = — Д- (Z- ? М') — ± (в„ Ан- 512I* -t- alsC*) L -----------------(an A -+- a22 B* -+- a23 C*) Af ';
(166,5)
(166,6)
560
Глава ХИК Эйконалы
И ^
Подставляя (л и v в формулы (166,4), находим: у и -j-» а затем / и ? по формулам (166,3):
рр
V —(p — p)[\an+ip) iA— j
-0-*>(±*.-эдз)| (166>7)
— (р — />)(~ ^12— т'А — (р— р) (lTa22'*'2&^p) т'Я*-‘
-Ср~р) (| a23 - ^_3) m' С*;
формула для L получается из этой формулы заменой / и т буквами L и М’.
Пользуясь выражениями для / и L в зависимости от новых координат, находим подобные выражения для двучленов А и В*, причем ограничиваемся только членами 2-го порядка; это дает:
ДР_ Д* | 2(р р) Q*
р Ърр
(р —р)г Vp2
С*;
(166,8)
В дополнение к формуле (166,5) выписываем на основании уравнений (166,2) соответственную формулу для а также две формулы для ft и у.' в зависимости от первоначальных координат I я Li
