Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р№„ Р V
(164,4}
" Wp I dM'
В дальнейшем рассматриваем только первую и третью из этих формул с координатами т, т!, I и /' и приводим их к следующему виду:
рЗЗп diEft)
ptpdEft)
n dl
(164,5)
Частные производные функции ?'l(4) суть малые величины 3-го порядка; поэтому в их выражениях величины /' и т! можно заменить приближенными значениями (3/ и (Зр т, отличающимися от точных значений величинами 3-го порядка. Первые члены в правых частях обоих уравнений также заменяем приближенными значениями их с той же степенью приближения. Для нахождения таких же приближенных значений обеих разностей У—-1 и X — 1, применяем разложение по формуле бинома Ньютона и формулы (164,2). Для первой из этих разностей получаем:
У — 1 ?5 — — (и/2 -ь V'2) = — ^г [(т' — l’f -+- (М' — L')2] SL ~ - 2п,2 3f^2-2 [Р2 (/2 н- L?) - 2^, (ml + ML) н- р,2 (ш2 н- М2)]
ИЛИ
2п'2 Р2Рр2р‘31
Для второй разности тем же путем находим
1 = ~ vt"4 -с*] =
= ¦— ~ [(/2-hZ,2) — 2(m/+- Л/L) -+- (m2 -н Л/2)].
Пользуясь этими формулами и разложением эйконала (164,1), мы можем написать формулы (164,5) в следующем виде:
Г — р/=;
г/(рМ— $В*-*-С*)-»2
2n'a
^ 1(апА-+-агВ* н- alsC*) - m'(iJM-(SB*-*-C*)-
77 т! (а;А -+- а2» В* -+- а33 С*);
(164,6)
554
Глава XI!!. Эйконалы.
*¦/(о,, А + г*-ю,5 С*)-1- — т' (*«/1 -I- о,!Я*-*- <fa с*).
(164,7)
Левые части этих формул суть меридиональные слагающие попе* речных аберраций в плоскостях изображений и выходного зрачка, правые — приближенные значения этих слагающих с точностью до величин 3-го порядка, т. е. зейделевы значения их.
Чюбы получить эти формулы в обычном виде, подставляем вместо А, В* и С* их значения по формулам (163,18) и заменяем т! приближенным значением т. После приведения подобных членов иаходим:
V-—1 .2n'2bj,p2 1
Г "* 2p3iy '
L п'2 Зр2 n a*>-
Г
1-2п'2 3-р2 n u •
Г "г P»p
L2n'2[J/ ?p* n a-
+-——— о22 ) I (ml -+- mL) •
L n's 3p p2 n
рЗЗ,,3
(164,8)
-¦ \У~Р- a,s — “aj m (m2 -t- M2) I-
piy? Wp ГЗ, 2 VP I
L n “гг'* “is '+-2p*J^'n I-L"ns n o«s\mML-
з„ pV
2p!
ГЗ 3^ “I
(164,9)
Соответственные формулы для сагиттальных слагающих поперечных аберраций могут быть выведены тем же путем или получены заменой соответственных букв в формулах (164,8) и (164,9).
Значения коэффициентов в этих формулах не зависят от выбора начала координат в обоих пространствах на оптической оси, так как эти коэффициенты содержат только отрезок р, равный расстоянию между плоскостями предметов и входного зрачка, т. е. равный разности координат двух точек на оси лг-ов, а не координаты их в отдельности. Это дает возможность приравнять коэффициенты подобных членов в формулах (164,6) и (132,4), а также в формулах (164,7) и (132,5) и найти
§ 165. Зависимость коэффициентов коорд. эйконала от положения эрачка 555
соотношения между коэффициентами координатного эйконала 4-го порядка и зейделевыми коэффициентами аберраций 3-го порядка. Не выписывая уравнений, приводим окончательные формулы, вытекающие из этих уравнений:
«11 — fl е — pi n V 5
— sxS S 1 П3 S ЛГ3 И
P^p T 2n /^pVV&p ‘ 2/>3 ?Jp ’
. s2 xa „ n2 <> n3
<*13 pi fy 2р„2р^1т 2n'2P(i/p3 —
S2 X2 <> П2 QV П
~ p*»prui. 2W 2p3&/’
S2 X2 p n3 s® „
а22 pi °ni 2n'2№?3p3 'рЧ/ 1ш
023 *3 x e га3 s3 x q m n
pi$pi~n • 2n'2 py ps pi [y 23/
si 9 n3
^ЗЗ “ 1 2n'23p333p3 •
2М
',,р
(164,10)
Таким образом, коэффициенты координатного эйконала 4-го порядка суть линейные функции зейделевых коэффициентов в разложениях поперечных аберраций в плоскостях изображений и выходного зрачка.
Из формул 2-ой, 3-е й, 4-ой и 5-ой группы (164,10) непосредственно следуют формулы (134,3), (134,4) и (134,5), дающие зависимость между зейделевыми коэффициентами аберраций 3-го порядка в плоскостях выходного зрачка изображений.
§165. Зависимость коэффициентов координатного эйконала 4-го порядка от положения плоскости входного зрачка
Предпбложим, что плоскость выходного зрачка, находившаяся на рас-стоянии хр' от начала координат, перемещена на расстояние хр; плоскости предметов и изображений сохраняют неизменное положение. Новое значение эйконала Ех отличается от прежнего на оптическую длину луча между обеими плоскостями выходного зрачка, т. е.
п (х' — xJ) гг' (р1 — р')
?i = ?,-i—Lg3-_?j=?j+ (165,1)
Согласно уравнению (164,1) для эйконала Ех имеем:
556
Глава ХШ. Эйконалы
здесь: В*=2 {Im1 С*~ т’г -ь М'\ $р— увеличение в новой
плоскости выходного зрачка; р-=хр— х.
¦Уравнения (164,4) дают:
Если представить координаты т' и М' в виде функций от новых координат т' и М’ и подставить их значения в правую часть уравнения (165,1), то оно обратится в тожество; приравнивая коэффициенты подобных членов в обеих частях тожества, получаем искомые зависимости между коэффициентами эйконалов для обоих положений выходного зрачка. Выгоднее обратить в тожество для той же цели и тем же путем уравнения (165,3), так как порядок их на единицу ниже и длинные вычисления несколько упрощаются.
Для нахождения зависимости между т, М' и т, М' воспользуемся следующими уравнениями, связывающими эти координаты с угловыми коэффициентами V, и/,
