Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тудоровский А.И. -> "Теория оптических приборов " -> 208

Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.

Тудоровский А.И. Теория оптических приборов — М.: Академия наук СССР, 1948. — 659 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaopticheskihpriborov1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 254 >> Следующая

Направим ось ;с-ов вдоль оси симметрии оптической системы; при таком выборе одной из координатных осей разложения эйконалов могут иметь только члены четного измерения относительно двух других координат, т. е. у и z. Это следует из того, что оптические длины лучей между двумя парами точек, расположенных симметрично относительно оси и, следовательно, имеющих координаты у и z, равные по абсолютной величине, но противоположных знаков, одинаковы; значение функции Е не должно изменяться при перемене знаков координат у а г.
Далее, эти координаты у и z могут входить в выражения эйконалов системы только в следующих комбинациях: г/2н-г2, у'2-нг'! и уу' -t- zz'\ первые два двучлена определяют расстояния точек до оси симметрии, третий двучлен пропорционален углу между меридиональными плоскостями, проходящими через начальные и конечные точки луча. Значения этих трех двучленов не изменяются при повороте координатных осей вокруг оси симметрии. Тем же свойством инвариантности относительно поворота осей обладают двучлены: \>-п и- Vs; у.2 -+- v'2 и -+- W; поэтому разложения углового эйконала и эйконала со смешанными переменными могут содержать параметры [л, v, у.' и •/ только в указанных комбинациях.
35*
548
Глава X/fl. Эйконалы
Так как разложение эйконала в ряд должно давать оптическую длину луча между точками на оси, если только что перечисленные переменные сделать равными нулю, то разложение должно иметь член нулевого измерения, не зависящий от переменных. Группа членов 2~го измерения относительно переменных, которую можно назвать эйконалом 2-го порядка, дает приближенное значение оптической длины, получаемое по формулам гауссовой оптики; выведенные в предыдущих параграфах формулы с частными производными эйконалов 2-го порядка приводят к формулам гауссовой оптики, т. е. к формулам первого порядка.
Эйконалы 4-го порядка, содержащие члены 4-го измерения, дают по тем же формулам аберрации 3-го порядка, т. е. приводят к формулам Зейделя; эйконалы 6-го порядка приводят к выражениям аберраций 5-го порядка и т. д.
Число членов эйконала порядка с номером 2/с равно числу членов однородного многочлена степени k от трех переменных, из которых каждая есть двучлен второй степени, как было только что установлено; обозначим это число символом N?i. Легко доказать, что
Мгк-±{к* -1)(*-ь2). (162)
Таким образом, эйконал 2-го порядка, для которого ?=1, имеет 3 независимых коэффициента, эйконал 4-го порядка (&~2) имеет 6 независимых членов, эйконал 6-го порядка (к = 3) —10 членов и т. д.
§ 163. Разложение в ряд координатного эйконала вывод формул
гауссовой оптики
Выберем на луче в пространстве предметов точку с координатами х, у, z и в пространстве изображений несонря-кенную с ней точку, имеющую координаты х', у' и г.
Вводим следующие обозначения:
А = г/2 -+- г2
: — 2 (уу I zz')- С* = у'~ -ь z'2
(163,1)
В соответствии с изложенным в предыдущем параграфе координатный эйконал для выбранных точек на луче может быть представлен в виде следующего ряда:
^аКАВ* -i-^a22B*2-*-^aluAC* »-
(163,2)
Коэффициенты членов разложения определяются конструкцией оптической системы;* численные множители введены для получения в дальнейшем удобных формул.
Согласно определению численное значение функции Е, есть оптическая длина луча между его крайними точками; для луча, идущего
§ 163. Разложение координатного эйконала; вывод формул гауссовой оптики 549
вдоль оптической оси А=В* = С*= 0 и Е1 = Е1^, т. е. постоянный член Е^ есть оптическая длина осевого луча между плоскостями, ¦роведенными через выбранные точки перпендикулярно оптической оси.
Предположим, что координаты у, z, у’, z' имеют столь малые значения, что всеми членами разложения эйконала порядка выше 2-го можно ¦ренебречь. В этом случае формулы (159,3) дают:
а1у-+-а*у'= — 72[а; а} z +-а2z' =— пч; a2y-i-a3y' = n’у.'; a?z-+- a3z' = nl •/.
(163,4)
Напишем уравнения луча в обоих пространствах предметов и изобра жений:
? — * *1 — у ? — г .
г
___—у
(163,6)
Из уравнений (163,4) в первой строке находим у и z и подставляем в уравнение (163,5), а из уравнений (163,4) во второй строке находим у' я z' и подставляем в уравнение (163,6). Одновременно принимаем во внимание следующие приближенные выражения для косинусов 1 и V:
>. =yi-^*_v* ^ 1 -1 (?* -+- v2); v = 1 - у (^,2 -+- v'2);
так как мы условились в разложениях эйконала пренебрегать всеми членами, содержащими малые величины порядков выше 2-го, то в уравнениях (163,4), получаемых дифференцированием эйконала, и в вытекающих яз них уравнениях мы можем пренебрегать малыми величинами 2-го порядка, т. е. принять, что
л ~ 1 и VS1.
Рюсле всех подстановок уравнения луча можно написать в таком вид
г______х_______п. _ °i _______________________________
Qi Ц v
V -ь — у С — г/_____________________________________^ п _ ______________ ____________
а3 !*' v'
(163,7)
Первое из этих уравнений показывает, что всякий луч, проходящий в пространстве изображений через точку с координатами х\ у', г', s пространстве предметов проходит через точку, координаты которой мы обозначим X, у, г и для которой имеем:
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed