Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§160. Угловой айконал
На ри~. 246, как и на предыдущем рис. 245, представлен луч AS. . .A'S, проходящий через две точки А и А' с координатами у, z, у, z' в пространствах предметов и изображений. Опусгим из обоих начал О и О' координатных осей перпендикуляры OQ и О' Q' на направления луча в обэих пространствах, определяемые косинусами углов с осью v, ft', v'. Функция этих косинусов, численное значение которой определяет оптическую длину луча между основаниями перпендикуляров Q и Q', называется угловым эйконалом Брунса. Обозначив ее буквой Е2, имеем:
Ег — Цр, v, fi\ V). (160,1)
Если точки А и А! ’суть сопряженные точки, то для всякого другого луча, проходящего через эти точки, оптическая длина между основаниями перпендикуляров Q и Q’ имеет другое значение, определяемое по фор-
§ 160. Угловой эйконал
545
муле (160,1); поэтому угловой эйконал может применяться также и в том случае, когда рассматриваются сопряженные плоскости OYZ и O' Y' Z'.
Угловой эйконал не может быть применен для исследования телескопических систем, так как в этих случаях заданным значениям коэффициентов (л и v соответствуют определенные значения [*' и v', одинаковые для всех лучей параллельного пучка независимо от того, через какие точки проходят лучи.
Из рассмотрения рис. 246 находим для оптической длины луча между точками Q и Q следующее выражение:
переходя к значениям эйконалов Еу и Е2 и заменяя QA и Q' А' проекциями радиусов-векторов ОА и О'А' на направления луча в обоих пространствах, имеем:
Для луча, проходящего через точки, бесконечно близкие к точкам А и А’] с координатами у-*-^у, z-\-bz, у'-л-Ьу' и г'-л-Ъг', значения угловых коэффициентов изменятся на бесконечно малые величины й[л, Sv, и <W', а следовательно, изменится также и значение углового эйконала. Из формул (160,1) и (160,2) находим:
Заменяя производные координатного эйконала Ел их значениями по формулам (159,3) и производя сокращения, находим:
(QQ) = nQ,4 н- {АА') — п' Q' А';
Рис. 246.
Ег = п (ру vz) Ег — п’ (ft V -I- v' z')
(160,2)
<)Е:, = Tl (<J-Sy ~+" ’^z) -+- п (уЪ>1 -+- zSv) +¦ <)у +¦ Sz -+- ¦ (160,3)
V dz’ (ljJV +¦v' 'V)— Л(у' VH- Z<V).
ЬЕ2 = n (г/'W -+- zbv) — n' (y' -+- z' Sv').
(160,4)
35 а. и. т у горо вский
546
Глава XIII. Эйконалы
Сравнение формул (160,3) и (160,4) дает основные свойства углового
аЙиАМЛ КА Г* П ВП Л 1 A HITfAITITfV /М%Л<П1<ППТЛ11»Ха
эйконала Ег в виде следующих соотношений:
дЕ&
^ = пУ>
дЕг дч
¦ nz\
дЕг
<>Е2
дч’ '
- — п у;
=---------- It! Z .
(160,5>
Дифференцирование углового эйконала Е„ по переменным косинусам углов луча с осью в пространствах предметов и изображений дает координаты точек пересечения луча с плоскостями, проведенными через начала обоих перпендикуляров и перпендикулярными оптической оси. Как уже было сказано, эти плоскости могут быть сопряженными.
§161. Эйконал со смешанными переменными
Функция, определяющая оптическую длину луча от точки пересечения его с плоскостью, перпендикулярной оптической оси системы,—точки А на рис. 246 — до точки Q' основания перпендикуляра, опущенного1 ва направление луча в пространстве изображений из точки (У пересечения с осью плоскости, перпендикулярной оси, называется эйконалом со смешанными переменными. Этими переменными являются в пространстве предметов координаты у и х точки Л, в пространстве изображений—косинусы углов луча с осямн у-' и v'. Обозначая эйконал со смешанными переменными буквой Е„, имеем:
Es = L(y, v').
(161,1>
Из этого определения и из рассмотрения рис. 246 находим следующую зависимость между тремя рассмотренными эйконалами:
Е3 = Et — п' (у.'у' ч- v' г') —— Е^ п (у.у -ь vz).
(161,2)
Дифференцируя оба выражения для Е3 и заменяя частные производные функций и ?» их значениями по формулам (159,3) и (160,5), находим для изменения ЬЕ3 эйконала Е3 при переходе к бесконечно близкому лучу следующее значение:
= — п ([А§г/ -+- v§z) — п' (у' <$[л' -+- z; Sv').
Из этой формулы, как и в предыдущих двух параграфах, получаем з качения частных производных функции Е3, а именно:
оЕъ
ду
OZ
дЕя
di?'
— n'y'i
пт — nV» А*' —
dEs дч' '
(161,3)
Как и в обоих предыдущих случаях, частные производные эйконала по какой-нибудь из четырех переменных дают значения соответственных переменных, относящихся ко второму пространству.
Эйконал со смешанными переменными неприменим к тому случаю, когда начальная точка луча находится в первой фокальной плоскости
§ 162. Общие замечания об эйконалах Брунса
547
системы, так как все лучи, проходящие через одну и ту же точку фокальной плоскости, имеют одинаковые направления в пространстве изображений, образуя пучок параллельных лучей с различными значениями координат у' и z'.
§ 162. Общие замечания об эйконалах Брунса и об их разложениях в ряды
Выведенные соотношения между частными производными эйконалов so независимым параметрам, определяющим ход луча в оптической системе, и этими параметрами сохраняют свое значение для всякой системы, образованной какими угодно преломляющими и отражающими поверхностями, не только сферическими; имея эйконал в виде явной функции параметров луча, можно исследовать ход луча в системе, имеющей цилиндрические или торические преломляющие поверхности. В общем случае „оптическая" система не дает оптических изображений в обычном смысле слова; отдельные точки пространства предметов „изображаются" бесконечно тонкими пучками лучей, т. е. каждой точке в первом пространстве соответствует точка в пространстве изображений, но „изображения" системы точек, плоскостей и предметов могут быть искажены в такой степени, что их трудно признать изображениями в оптическом смысле. Нахождение эйконалов в явном виде возможно лишь в самых простых случаях, например, в случае одной преломляющей сферической поверхности; уже для системы центрированных сферических поверхностей нет возможности получить выражение эйконала в применимой форме. Вследствие этого неизвестные функции, названные эйконалами, обычно представляют в виде разложений в ряды, расположенные по возрастающим степеням двух независимых параметров, определяющих луч в одном из пространств системы. Разложения эйконалов значительно упрощаются, если оптическая система образована центрированными сферическими поверхностями и, следовательно, имеет ось симметрии—оптическую ось. В далвнейшем рассматриваются только такие системы; рассмотрение более общих случаев можно найти в книге Герцбергера (Herzberger [3]) и в статье Бёгегольда (Boegehold [2]).
