Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтон рассматривал оптическую длину луча между двумя точками в пространствах предметов и изображений с координатами х, у, z и ~х\ у', z, как функцию этих шести координат; из свойств этой функции,
542 1'лава ХШ, Эйконалы
названной им характеристической, он вывел ряд важных положений геометрической оптики.
Построив в пространстве изображений прямоугольную систему координат O' X' Y'Z’ и направив ось О'Х' вдоль оптической оси, определяем положение луча в пространстве изображений параметрами: у', i', p.', vr; координата х' точки луча равна нулю или постоянной величине для различных лучей, проходящих через различные точки плоскости, перпендикулярной оси лг-ов, и имеющих различные направления, т. е. различные косинусы углов о/ и v\ В общем случае начальная и конечная точки луча не суть сопряженные точки. Согласно вышеизложенному мы можем написать:
У' —/i (У> Р; v);
~h (у> z, p. '0; z, ?,'>)•
Рассматривая эти четыре равенства как совокупность уравнений* связывающих восемь переменных, мы можем решить эти уравнения относительно любых четырех величин из восьми и представить их в виде функций остальных четырех, рассматриваемых как независимые переменные. Не останавливаемся на вопросе о тех условиях, каким должны, удовлетворять функции /,, /2, /3 и /4 для того, чтобы уравнения имели решения. Изложенное дает возможность рассматривать оптическую длину L как функцию любых четырех параметров из числа восьми. •
Можно выбрать независимые параметры таким образом, чтобы два из них относились к пространству предметов и два к пространству изображений. Возможны 16 таких комбинаций четырех параметров из общего числа восьми параметров, так как в каждом пространстве пары, относящиеся к одной и той же оси, не определяют луча и потому невозможны, т. е. невозможны пары*, у и {*., z и у' и is/, z' и v'. Функции, определяющие оптическую длину луча в 16 случаях различных возможных комбинаций независимых параметров, Брунс назвал эйконалами; в дальнейшем развитии теории оптических систем получили значение и в действительности применяются только три эйконала Брунса, являющиеся функциями следующих групп параметров: 1) у, z, у', г \ 2) У; V, и/, v'; 3) у, Z, V'.
§ 159. Координатный эйконал
Проведем в пространствах предметов и изображений две несопряженные плоскости, перпендикулярные оптической оси системы; через каждые две произвольно выбранные точки этих плоскостей можно провести только один определенный луч; координаты этих двух точек вполне определяют луч. Функция этнх координат, численное значение которой определяет оптическую длину луча между точками, называется координатным, иногда точечным, эйконалом Брунса. Обозначим эту функцию буквой а оптическую длину луча буквою L; координаты точки луча в пространстве предметов назовем буквами у и г, а координаты точки луча в пространстве изображений теми же буквами, но с черточками сверху и со знаками справа: у' и z'% черточки должшл
$ 159. Координатный эйконал
543.
служить для напоминания о том, что обе точки не суть сопряженные. Можно написатл:
Ex = L{y,z,y',~z'). (159,1)
Если бы выбранная пара точек была парой сопряженных точек, то каждый луч, проходящий через первую точку в пространстве предметов, непременно проходил бы через вторую точку; оптическая длина всех сопряженных лучей между этими точками одинакова, и функция L не могла бы служить для определения направления луча. Сопряженные точки на луче являются особыми точками для координатного эйконала.
На J5hc. 245 А и А' суть выбранныэ несопряженные точки на луче •/45.. .A' S'. Бесконечно близкий к этому лучу луч .. .А/SJ пересекает координатные плоскости ZOY и Z' O' Y' в бесконечно близких точках Ал и А/ с координатами У~*~^У, z-+-$z, у' -+-&у', ~z' -\-b~z'.
Опустим из точек А, и - А/ перпендикуляры А, В и А/ В' на направления AS и A' S'. Так как лучи A.S и Ау Sx бесконечно близки, то можно принять, что оба перпендикуляра находятся на поверхностях, ортогональных системам лучей AS и Д 5,, A' S' и А/ S^; расстояния точек этих перпендикуляров от ближайших точек Ортогональных поверхностей суть бесконечно малые высших порядков по сравнению с расстояниями между лучами. Поэтому оптические длины лучей между точками В и В' и между точками А1 и Ау равны между собою, т. е.
(А1А1') = (ВВ').
С другой стороны, для оптической длины {АА') луча между точками А и А' имеем:
(АА') = пАВ - ь (ВВ') — п' А’ В'.
Отсюда находим:
. Ы = (А, Л/) — (АА') == — пАВ -+- п' Л' В’.
544 Г лапа ХЧ1, .Эйконалы
Из рассмотрения чертежа ясно, что АВ и А' В' суть проекции отрезков АА1 и А'А/, замыкающих ломаные линии из элементарных отрезков Ну, i)z, $у, ?>z'; поэтому:
АВ == и.^ -+- v^z;
А,’0 = ‘УЬу,^ы'^'.
Таким образом имеем:
г)?, = &L = — п <i3>у -+- vS>z) -* п fa' v' lz'). (159,2)
С другой стороны, пользуясь уравнением (159,1), можно написать:
Сравнивая это выражение для &?j с предыдущим (159,2), приходим к уравнениям, иыражающим основные свойства координатного эйконала Брунса:
дЕ, , , НЕ, )
,,«*, > <159'з>
™ — <)z ’ п V “ ОТ '
Итак, если функция Elt названная нами координатным эйконалом, известна, то дифференцирование втой функции по незазисимым координатам начальной и конечной точки луча определяет косинусы углов, образуемых лучом в пространствах предметов и изображений. Если координатный эйлонал дан приближенно в виде ряда, расположенного по степеням названных четырех координат, то указанное дифференцирование дает приближенные значения тех же косинусов с соответствующей точностью.
