Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4 V [ (143,1)
SG/=0. |
Здесь 4'—координата точки пересечения главного луча, образующего с осью в пространстве предметов конечный угол a>Jt с гауссовой плоскостью изображений, //—-та же координата, вычисленная по формулам гауссовой оптики; //~vq/j.
Чтобы получить формулу, определяющую аберрацию для случая бесконечно далекого предмета, находим по формуле (133,3) предел произведения (i0Sj и после подстановки имеем:
-- ~^pf'х :i tg"'' wi ¦ (143,2)
§ 143. О коэффициенте Зейделя Sy
493
Аберрация главного луча складывается без всякого изменения с аберрациями остальных лучей пучка, для которых т1 й. Мх не равны нулю. Ясно, что коэффициент Sy не влияет на строение пучка, дающего изображение дайной точки, и, следовательно, не влияет на качество изображения точки, но изменяет положение этого изображения, т. е. наличие коэффициента SY сопровождается искажением изображения — дисторсией. Дисторсия изображений была рассмотрена в § 123.
Формулу (123,1), определяющую дасторсию V системы, можно преобразовать следующим образом:
Приняв во внимание формулы (143,1) и (133,1), находим:
s (143 4)
Л, Pi ' \ /
В § 134 было показано, что коэффициент Зейделя Sy в плоскости изображений связан с коэффициентом комы в плоскости выходного зрачка соотношением (134,3); поэтому вместо формулы (143,4) можно написать:
К=-Ц-®, 5„, -4<т,'-1)] • (143,5)
Выписываем третью формулу для дисторсия V, а именно формулу (123,8), дающую эту величину в зависимости от сферической аберрации в выходном зрачке: * f
К=(1-|--?^-,)-Ц^- —1. (143,6)
\ Ч —Ч /Tpotg- го, v '
Покажем, что эта формула в случае, когда система имеет аберрации только третьего порядка, дает тот же результат, что и обе предыдущие формулы.
Второй дробный множитель в первом члене формулы подвергаем следующим последовательным преобразованиям:
tjr wk ______ sin gOfcVl
w\ sin Vl
пли
~ Г1 + Utfw,;-t** «*)]
-tg3a>j "no, L 2 ' * * * 17 J
Применим формулу (139,7), дающую приближенное значение отступления от закона синусов п какой-нибудь плоскости изображений, к плоскости выходного зрачка, заменив предварительно 2 его значением по формуле (139,8); после замены всех букв формулы аналогичными находим:
494
Глава XL Теория аберраций третьего порядка
Отсюда находим отношение sin w.': sin wlf применяя правила приближенных вычислений:
sin Wj ^ Гт ______ 6х>!'____SJ ’ “'1 С .
sin и»! ‘Р°Ц Ч'—Ч «iPi ‘ llj: !*
Подставляем это значение отношения синусов в формулу (143,7)v выполняем умножение и снова отбрасываем малые члены высших порядков; это дает:
tg W
f (143-8>
Подставляя это значение отношения тангенсов в формулу (143,6) и отбрасывая после раскрытия скобок члены высших порядков, приходим к формуле (143,5).
Оптическая система дает неискаженное, ортоскопическое изображение, если К=0; необходимое и достаточное условие для этого можно написать в различной форме, пользуясь каждой из вышеприведенных формул. Для того, чтобы днсторсня третьего порядка была равна нулю, необходимо выполнить одно из следующих трех условий:
а) коэффициент Зейделя Ss для данной плоскости изображений должен быть равен нулю, т. е.
*Sy = 0; (143,9)
б) коэффициент комы для плоскости выходного зрачка должен удовлетворять уравнению:
<•«.*»
в) сферическая аберрация в выходном зрачке и отношение тангенсов углов с осью главных лучей для всех конечных значений этих углов должны удовлетворять уравнению:
(1-+--?^-,)-^- —1. (143,11)
Очевидно, что это условие выполняется в частном случае, предста» вленном формулами (123,9), когда и tg1 wk' — vp\gщ.
Пользуясь формулой (143,8), можно найти значение отношения tg zut': tg; Wj, когда дисторсия V равна нулю; для этого подставляем в формулу (143,8) вместе Slu его значение по формуле (143,10); нахо-> дим:
. ----, • (143,12)
^--si-
Таким образом отношение в левой части не должно отличаться от единицы больше, чем на величину второго порядка малости; величинами первого порядка считаются отношения координат Ц, т,.' и Мк' к отрезку р/. Если условие (143,12) выполнено, то левая часть уравнения (143,11) отличается от единицы не более, чем на величину четвертого порядка;, с той же степенью приближения дисторсия V равна нулю.
§ 144. Зависимость коэффициента Sy от положения зрачка и предмета 495
§а144. Зависимость коэффициента дисторсии Sv от положения плоскостей входного зрачка н предметов
а) Для рассмотрения вопроса о зависимости коэффициента дисторсии от положения входного зрачка воспользуемся последней из формул (135,2):
S, = - В/ S, 3 В/ A,. Sn - Вх А/ (з 5Ш
, "I2 (*i—»i)2
2^i2*,5
*!<*! — Sl) . (***1 ®]) ’
Т> _______ 81 (*, — )
* *l)
(144,1)
Если первые четыре коэффициента Зейделя равны нулю, а пятый Sv не равен нулю, то
(144,2)
С ___ —Sj)3 с
*>v— хуЦхг-s,)з *V
Приняв во внимание замечание, сделанное в §140 по поводу формулы (140,2), мы можем скавать, что в данном случае, когда .S', = Sn = = Sjn = ‘S'xV = 0, a Sv =7^=0, коэффициент дисторсии S4 не может быть сделан равным нулю никаким выбором положения входного зрачка.
б) Если для какого-нибудь положения плоскости изображения все пять коэффициентов Зейделя не равны нулю нли равны нулю не все коэффициенты ив первых четырех, то приравнивая нулю правую часть формулы (144,1) для Sy и освобождаясь от знаменателя, мы получаем уравнение третьей степени относительно неизвестной хи корни которого определяют те положения плоскости входного зрачка, при которых система дает ортоскопическое изображение данной, неивменной плоскости предметов. Уравнение можно написать в следующем внде:
