Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ограничимся рассмотрением свойств элементарной трубки, определяемой двумя элементарными контурами М^РХ и М2Рг и изображенной на рис. 23.
Нормали к площадям контуров и N% образуют с осью элементарной трубки 0 0., углы zx я /2. Свойства световой трубки определены,
если известны контуры площадок М]Я, и М2Р.г, углы нормалей с осью трубки /, и /2 и телесные углы, построенные в точках площадок О, и О» и опирающиеся на оба контура. Если расстояние между точками 0{ и 02 равно R, то, согласно уравнению (18,1), получим:
, dSiCosii , г/Иь) cos 0
ам j----------и йм2— -g.,----------- 3)
Элементарные телесные углы dv>l и Жо, характеризуют расхождение лучей внутри световой трубки; необходимо иметь в виду, что даже в пучке так называемых „параллельных" лучей <&>, не равно нулю, хотя и может быть весьма мало.
Для дальнейшего важно знать, как изменяется элементарная световая трубка при отражении и преломлении на границе двух сред.
На рис. 24 ММРР представляет часть пограничной плоскости между двумя средами с показателями преломления п и п; ON— нормаль в точке падения О. Боковая поверхность падающей световой трубки не показана, но изображен телесный угол cfw, построенный в точке О и опирающийся на контур ABCD; другая площадка, определяющая световую трубку, в точке О также не показана во избежание затемнения рисунка добавочными линиями. В отраженной части световой трубки конус (пирамида) OABCD примет положение OA-fijC^D-i, а в преломленной части трубки определяющим ее телесным углом будет угол OA'B'C'D'(=^dо>). Пусть углы падения, отражения и преломления будут: i, и Л а элемен-
§ 18. Телесный угол; световые трубки; их отражение и преломление 47
тарный угол между вертикальными гранями телесных углов NOP и NOM равен с?ф; тогда, согласно формуле (18,2) для элементарных телесных углов трех световых трубок: падающей du, отраженной rfw, и преломленной найдем:
с?м = sin i di cfc,
</(•>, — sin z, dij а’ф,
d<* = sin /’ di' df. N
j Угол do у всех одинаков, так как при отражении и преломлении лучи не выходят из своих нормальных плоскостей. По закону отражения
i — i,; по закону преломления:
n sin i = vl sin i.
Дифференцированием находим:
n cos i di — rt cos i' di'.
Перемножив соответствующие части последних двух уравнений между
собой и умножив их на dy, находим для преломленной трубки:
п2 cos i <7о) = пcos г" с?<о'. (18,4)
Кроме того, для отраженной трубки:
d«> dv>v (18,5)
Таким образом при отражении элементарной световой трубки телесный угол, определяющий расхождение ее лучей, не изменяется; тот же телесный угол у преломленной части трубки определяется соотношением (18,4).
48 Глава П. Световая энергия; основные понятия фотометрии и колориметрии
§ 19. Теорема Штраубеля
На рис. 25 представлена элементарная световая трубка, преломляющаяся через поверхность S, которая разделяет две среды с показателями преломления п(— л5) и п (— п2); площадь сечения этой поверхности с боковой поверхностью трубки dS; углы падения и преломления оси трубки i и г'. Световая трубка определяется элементарной площадью dS и телесным углом da, имеющим вершину в центре этой площади и опирающимся на контур плоского сечения трубки cfSj нормаль к этому сечению образует угол /j с осью пучка, соединяющей центры элементарных
площадок dSt и dS. Расстояние между центрами их равно Иг. Телесный угол dv>} имеет вершину в центре сечения dS^ и опирается на контур сечения dS. Во второй среде также построено плоское сечение dS2 и телесный угол da>2, имеющий верши ну в центре сечения dS.i и опирающийся на контур сечения dS; телесный угол da1 имеет вершину в центре сечения dS. Расстояние между центрами сечений равно /?2, угол между осью трубки и нормалью к плоскому сечению dS2 равен /8.
Все лучи, проходящие через какую-нибудь точку одного из сечений световой трубки внутри телесного угла, определяющего вту трубку, проходят через все точки остальных, двух сечений; ни один луч не пересекает боковой линейчатой поверхности, ограничивающей трубку, и, следовательно, не выходит за пределы ее объема.
Согласно уравнению (18,4) имеем:
л,2 cos / da — п./ cos i' da', или после умножения обеих частей уравнения на dSi п 9dS cos г <Л» = n2 dScos i'du.
Формулы (18,3) дают:
> dS-i cos /. , i dSn cos i->
da = - ’ —' и dtx—— L
Ki~
Подставляем эти значения da и da' в предыдущее уравнение: Л]2 cos г cos <1 dS dSi _____________ n'J1 cos i' cos to dS dSg
Но согласно тем же формулам (18,3):
§ 20. Яркость пучка лучей и источника света
49
Следовательно:
Щ' cos /, dSt c/o>L = n2 cos i2 dS2 d<i>2,
(19,1)
т. e. произведение из квадрата показателя преломления, площади нормального плоского сечения элементарной световой трубки ((/-?, cos/,) и элементарного телесного угла, имеющего вершину в точке этого сечения и определяющего световую трубку, остается неизменным, инвариантным при преломлении трубки во вторую среду, а следовательно, остается инвариантным для элементарной световой трубки, претерпевающей какое угодно число преломлений. Формула (19,1) называется теоремой Штраубеля.
