Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
О о
при этом интегрирование по п?ременной i производится в пределах от нуля до If, где U' — половина апертурного угла системы в пространстве изображений, т. е. угол между лучами, проведенными к концам радиуса окружности выходного зрачка из центра изображения на оси
системы. В том частном случае, когда яркость В' можно считать одина-
ковой по всем направлениям в пределах интегрирования, интеграл можно вычислить, выведя В' за знак интегрирования. Это дает:
«
dF’~ -В' dS sin- U'. (101,4)
Не повторяя вывода, можно написать по аналогии формулу, определяющую величину элементарного светового потока dF, излучаемого
342
Глава /X. Ограничение пучков в оптических системах
элементом dS плоскости предметов в точке на оси системы во входной зрачок. Очевидно:
dF=r.BdS sin U, (101,5)
где U—половина апертурного угла системы в пространстве предметов.
Вычислим элементарный световой поток «//’'через элемент площади dS\ находящийся в плоскости изображений в какой-нибудь точке ее .У не на оси системы, в том случае, когда сечение пучка лучей плоскостью выходного зрачка есть круг. На рис. 184 P\Pi— круговое сечение пучка лучей, выходящих из системы и проходящих элемент dS' плоскости изображений.
Разбиваем площадь сечения на элементарные кольца бесконечно близкими концентрическими окружностями и выделяем элемент площади одного из колец, ограниченный дугами of ружностей с радиусами г и г-*-dr; площадь этого элемента равна rar do, где — угол радиуса с осью z-ов и dy — угол между радиусами. Согласно формуле (20,4) элементарный световой поток, проходящий через элементы rdrdy и dS1, равен
В' dS’ rdr <*? cos2 (L, К)
где L — расстояние от центра элемента dS с координатами 0, р1, ? до центра М элемента кольца с координатами г sin <р, 0, г cos о. Далее находим:
cos(Zr, К)— ^ и ?2 = />'2-н/,2-*-г2 — 2r/'cos<?.
§ 101. Световой поток через оптическую систему; яркость изображений 343
Полный элементарный поток dF' находим, выполняя интегрирование по всей площади кругового сечения пучка:
dF’=B'P’^sJrdr j
r=0 9—0
Первое интегрирование по 9 выполняем по формулам
d<? A sin 9 Г Bdy
f d<?___________________________________________Л sin 9 t Г_________________________________j
J (а -I- 6 cos с?)2 (a + 4 cos 9) J (а н-
¦ 6 cos с?)2 (a + 4 cos 9) J (а -I- Ь cos о) где
I 6 п ®
^ 62_Д2 И " a'L-^W 1
при условии: а^> b.
При вычислении определенного интеграла принимаем во внимание, что при изменении 9 от нуля до 2~ аргумент обратной тригонометрической функции непрерывно возрастает от 0 до + со и от — то до 0 и, следовательно, дуга тангенса изменяется от нуля до ~, т. е. разность крайних значений arctg равна к.
В результате имеем:
г=а
JCI О (!DI JC» f (р'’А ¦*- Г2 -I- 1'г) rdr
dF -2 ,.Р В dS J ,
r~0
а—радиус круга Р/Р/.
Вводим новую переменную а — угол между лучами и BS’,
проведенными из точки S' к концам диаметра АВ элементарного кольца
в меридиональной плоскости. Очевидно, что
a=Pi — %,
где [ij и р2 углы с осью z-ов лучей Л5 и BS.
Так как
и tg % = г ,
ТО
= (101,6)
cosa= -г—-Лг _ • (101,7)
V(p,2-t-/,2-l-/-2)2—4/'2,-а v > >
Из формулы (101, 6) следует:
Vz/2 -+- V‘l sin - х — р' cos a
Г — —----------------:----------------
sm a
После перехода к новой переменной находим:
344
Глава IX. Ограничение пучков в оптических системах
где Л — угол между лучами, проведенными из данной точки S' плоскости изображений к концам диаметра в меридиональной плоскости кругового сечения пучка лучей, выходящих из оптической системы и собирающихся в точке S.
Интегрирование дает следующую формулу для вычисления элементарного светового потока dF' через элемент площади dS:
dF'=-\- кВ' dS (1 — cos А) = -В’ sin2 у \dS, (101,8)
где
„'2 /'2__ „2
для вычисления Л удобнее формула:
^А=/2>'“_а-2 • (101,10)
Если точка S' находится на оси системы, т. е. если /'=0, то cosA —
р'г — а2 1 . а
==р'2"_^г и ^2 р7’ в атом случае А равно апертурному углу
оптической системы в пространстве изображений, и формула (101,8) переходит в формулу (101,4).
§ 102. Закон синусов Аббе
Положим, что оптическая система дает совершенное изображение весьма малого, но конечного участка плоскости, перпендикулярной оптической оси; одна ив точек участка находится на оси; его площадь &S. Площадь сопряженного участка в пространстве изображений ^S. Апертурные углы 2U я 2LT в обоих пространствах имеют большие значения т. е. лучи, выходящие нз точки на оси и собирающиеся в одной точке в пространстве изображений без аберраций, заполняют большие телесные углы.
При сделаных предположениях весь световой поток ±F, посылаемый площадью A.Sчерез входной зрачок оптической системы, выходит из нее через выходной зрачок и проходит через сопряженную площадь ЛS. Если принять во внимание все потери света в системе, то для светового потока AF' через площадь &S' имеем;
AF' = k±F, (102,1)
где к имеет то же значение, что н в формуле (101,1).
Подставляем в это уравнение вместо \F’ и AF их значения по формулам (101,4) и (101,5) и вместо В' его значение по формуле (101,1)» После сокращений находим:
