Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(75,1)
/У /б. Аналитический вывод формул гауссовой оптики
267
Для предварительного общего ознакомления с приемами аналитической теории может служить следующий параграф, содержащий краткий вывод основных уравнений гауссовой оптики по Аббе. Для практического ежедневного пользования формулами теории необходимо иметь ясные геометрические представления о тех соотношениях, какие соответствуют этим формулам; поэтому в последующих параграфах основные формулы выводятся еще раз без применения аналитической геометрии как следствия вышеприведенных геометрических определений и одновременно дается подробное толкование их.
Теория коллинеарного изображения может быть построена и изложена приемами синтетической или проективной геометрии; для первоначального ознакомления с основными идеями такого построения см. ту же книгу
S. Czapski und О. Eppenstein [7].
§ 76. Аналитический вывод формул гауссовой оптики
Как уже было указано, на практике почти исключительно пользуются оптическими системами центрированных сферических поверхностей; поэтому для упрощения можно ограничиться рассмотрением лишь таких сопряженных пространств, которые обладают двумя сопряженными осями симметрии; можно считать для дальнейшего упрощения, .что обе сопряженные оси симметрии лежат на одной прямой. Всякую плоскость проходящую через ось симметрии, будем называть меридиональной плоскостью системы.
В меридиональной плоскости все свойства точек и лучей симметричны относительно оси симметрии; всякой точке и всякому лучу по одну сторону оси соответствуют симметрично расположенные точки и луч по другую сторону оси.
Всякому лучу, находящемуся в меридиональной плоскости пространства предметов, соответствует луч в сопряженной меридиональной плоскости пространства изображений.
Ограничимся рассмотрением двух сопряженных меридиональных плоскостей в обоих пространствах. Расположим оси координат : и вдоль оси симметрии, а оси координат г, и г' в сопряженных меридиональных плоскостях. Формулы преобразования не должны содержать координат . и поэтому вместо уравнений (75,1) имеем следующие уравнения:
М-'-Л v-yii .
kl-i-lr, I п ’ ]c-i i “I- /о 1 ¦¦
ki -i- ir, -i- п
(76,1)
Вследствие симметрии при замене г, на — х с' не должно изменяться; следовательно:
к2; ч- /2 г, ч- щ =— (к21—1г г, ч- п2);
это возможно только в том случае, когда
к3 = п2 — 0.
268
Глава VIII. Теория идеальной оптической системы
Итак, в случае системы, имеющей ось симметрии, для сопряженных меридиональных плоскостей имеем:
jfei ? •
/аЧ
лх
«¦
(76,2)
Решая эти уравнения относительно ; и ч, находим:
к — -ь 12]
tf' ~kL '¦>
„ __ 1*^1 -А_"К hU’-h)
(76,3)
Возможны два случая: первый, когда к не равно нулю, и второй, когда ^=0.
В первом случае знаменатели четырех дробных выражений могут име.ь всевозможные значения от — до ь со; во втором случае эти знаменатели остаются постоянными при всех значениях координат.
Рассмотрим подробнее первый случай. Проведем в пространстве предметов плоскость, определяемую уравнением:
к1ч-п = 0. (76,4)
Эта плоскость перпендикулярна оси симметрии системы* согласно формулам (76,2) координаты сопряженных точек в пространстве изображений i’ и г! имеют бесконечно большие значения, т. е. изображение этой плоскости находится на бесконечно далеком расстоянии.
Равным образом мы можем построить в пространстве изображений плоскость, определяемую уравнением:
?'-*,= 0,, (76,5)
которой соответствует в пространстве предметов сопряженная плоскость на бесконечности.
Первая плоскость называется фокальной плоскостью пространства предметов или первой, иногда передней, фокальной плоскостью оптическвй системы. Точка пересечения втой плоскости с осью симметрии называется фокусом пространства или первым фокусом системы. Вторая плоскость называется фокальной плоскостью пространства изображений или второй (задней) фокальной плоскостью системы; точка втой плоскости на оси системы называется вторым фокусом системы, иногда задним фокусом.
Гомоцентрическому пучку лучей, выходящему из фокуса одного пространства, соответствует в другом пространстве сопряженный пучок лучей, параллельных оси; сопряженная фокусу точка находится на бесконечности.
$ 76. Аналитический вывод формул гадссовой оптики
269
Обозначим координаты обоих фокусов буквами: \F и г,г в пространстве предметов, и r)'F, в пространстве изображений; из уравне* ний (76,4) и (76, 5) находим:
v=-t; V=°;
7)^ = 0.
В обоих пространствах переносим начала обеих систем координатных осей в соответственные фокусы, не изменяя направления осей, и называем новые координаты буквами: х, у и хг, у'; выписываем формулы преобразования координат:
п
; = *-А; -г-у,
к; , <-т; •'.=</¦
После подстановки значений координат п, и л' в уравнения (76,3) находим:
v__ Л] к—пкл .
fcV ’
к — nki)у'
4;
Вводим следующие обозначения:
у klo х'
и / ----------,
и приходим к основным уравнениям гауссовой оптики:
xx'—ff'; (76,6)
J>L —
' * ~~ /'
(76,7)
Отношение у' :у ординат сопряженных точек, расположенных в сопряженных плоскостях, перпендикулярных оси симметрии, не зависит от величин этих ординат, но различно для различных х и х', т. е. для различных пар сопряженных плоскостей. Из этого следует, что сопряженные геометрические фигуры в этих плоскостях подобны одна другой; отношение у' :у есть масштаб подобия и называется поперечным или линейным увеличением; обозначим его буквой (J, т. е.
