Физика 20 века: ключевые эксперименты - Тригг Дж.
Скачать (прямая ссылка):
однородно всюду между пластинами и равно нулю вне их (в своей шестой
работе Томсон проанализировал влияние краевых эффектов и не обнаружил
существенной разницы в результатах). Пусть расстояние между пластинами
равно s, их длина /, а разность потенциалов между ними V, тогда
напряженность поля составляет V/s. Частица с зарядом е и массой т будет
испытывать в направлении оси х постоянное ускорение, равное (е/т) V/s.
Время, в течение которого частица находится в поле, равно I/и, где v-
начальная скорость частицы. За это время она приобретает поперечную
скорость
== 1=--Y-L
х v т s v и смещается на расстояние
xrr=La(lY = li_L(l\2
Х 2 \ v J 2 т s \ v ) '
За время й/v, которое понадобится частице для прохождения оставшегося до
экрана расстояния d, она дополнительно сместится по оси х на расстояние
vx(d/v) = eVld/msv2. Таким образом, полное смещение на экране составит
x' = ^-^^(2ld + l2) = -^-^T^-l(l + 2d). (2.1)
2 mv' s' 1 ' 2 rnv1 s'1 ' '
Смещение в магнитном поле также достаточно просто вычислить при
идеализированных условиях, т. е. принимая, что на всем пути к экрану
частица находится под действием однородного магнитного поля. В этом
случае траектория частицы представляет собой дугу окружности. Магнитная
сила всегда направлена перпендикулярно движению частиц и является
центростремительной силой; следовательно,
откуда получаем обратный радиус окружности:
1 Be
Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC на рис. 2.2.6, находим
г2 = (г - у? + г2,
или
2 гу - у2 - z2.
кривизны траектории г, поэтому величиной у2 можно
(2-3)
Обычно отклонение по оси у много меньше радиуса ивизны траекто
пренебречь. Тогда
" - 2 7
Подставляя сюда значение 1/г, находим
У = w ~~ Bz2. (2.4)
^ 2 mu
Это соотношение справедливо при любых значениях 2. Смещение пятна на
экране, вызываемое магнитным полем в этом идеализированном случае, равно
y' = -±-B(l + d)2. (2.5)
В действительности, однако, магнитное поле не однородно; уравнения (2.4)
и (2.5) заменяются соответственно уравнениями
y = -?^Bof(z) (2.4а)
и
y' = -~B,f{l + d), (2.5 а)
где В о - значение поля в некоторой произвольной точке отсчета, a f(z) -
функция, зависящая от изменения поля от точки к точке1. Функция f(z) не
может быть найдена расчетным путем, она определяется эмпирически; к
счастью, нам необходимо лишь ее значение при z - I + d. Способ ее
определения основан на том, что в магнитном поле гибкий провод с током
стремится
1 Читатель, знакомый с основами анализа, может усмотреть причины
изменения формул в следующем: в уравнении (2.2) величина 1/т
аппроксимировалась значением d2y]dz2\ это приближение эквивалентно тому,
что мы пренебрегали величиной (у')2 в уравнении (2.3). Плотность потока
(магнитная индукция) В становится
29
свернуться в кольцо, радиус которого задается соотношением
7 = Т-' (2'6)
где i - ток в проводе, Т - натяжение провода.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 2.2, в. Магнитная сила,
действующая на участок провода длиной гД0, равна BirAQ и направлена по
радиусу от центра; она должна быть скомпенсирована составляющими сил
натяжения Т, Т, каждая из которых равна Т sin(A0/2) и направлена по
радиусу к центру. Отсюда получаем 27'sin(A0/2) = BirД0. Для очень малых
значений Д0 можно с достаточной точностью заменить sin(A0/2) на Д0/2,
откуда непосредственно вытекает уравнение (2.6), Это уравнение абсолютно
аналогично уравнению (2.2). Следовательно, если поместить такой провод в
магнитное поле, а затем один его конец перемещать по вертикали до тех
пор, пока другой не установится горизонтально (см. рис. 2.3) и таким
образом воспроизвести
теперь функцией г, что можно записать как BoF(z). Поэтому уравнение (2 2)
заменяется уравнением
-Й = - B°F
dzi та
Интегрируя его один раз по z в пределах от 0 до г', находим
Z'
- -- В0 [ F (z) dz; о mv J
о
поскольку на начальном участке траектория касается оси г, второе
слагаемое в левой части равно нулю Получившееся уравнение можно повторно
проинтегрировать - на этот раз по г' от 0 до г. Тогда, учитывая, что у =
0 при z = 0, получаем
z zr
y=lt\dz' \F{z)dz
О U
z z'
Таким образом, f (г) = ^ dz' ^ F(z)dz. Легко убедиться, что при
и О
F(z) = 1 (случай однородного поля) последняя формула переходит в (2.4).
ау
dz
dy
dz
30
условия, в которых находится пучок положительных лу-чей, то провод примет
форму, описываемую кривой
у = ~во/ (2),
и его внешний конец окажется от горизонтальной оси на расстоянии
yi = Y SQf(i + d). (2.7)
Разделив уравнение (2.5 а) на (2.7), получим соотношение
е
у' __ tnv
Т
из которого исключена не только неизвестная функция f(l-\-d), но и
величина В о. Для удобства пользования приведенными соотношениями, чтобы
не прибегать к определению уь i или Т для каждого значения Во, проще
ввести величину B0w, которая использовалась в опыте с. проводом. Тогда
можем записать
е
У' mv R
и } R О*
У1 l&ow
т
или
y' = -i-JiL в (2.8)
v mv iBQW и v '
Применение рассмотренного метода демонстрируется на рис. 2.3. "Часть
