Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
кванты этого поля. Собирая все это вместе, нетрудно построить свободную
теорию поля, включающую в себя кванты всех фундаментальных полей, которые
есть в реальном мире, - лептоны, кварки и т.д. Но ничего при этом
происходить не будет. С той же ситуацией мы встречались в квантовой
механике. Там частицы тоже были свободны и независимы, если не были
заданы силы, действующие между ними. Для того чтобы получалось какое-то
действие, должны существовать силы. Для теории поля это означает, что для
поля должно быть задано взаимодействие'. говоря языком математики, в
уравнение должны входить нелинейные слагаемые.
Взаимодействие
Общий формализм квантовой механики частиц относительно безразличен к
природе сил, действующих на частицы. Конечно, различные силы будут иметь
разные физические следствия. Некоторые силы легче поддаются
математической обработке, чем другие, но которые могут лучше
соответствовать физической реальности. Но пока выражение для сил не
станет патологическим, теория остается согласованной. В квантовой теория
поля ситуация может быть вполне противоположной. Случайно выбранные виды
взаимодействия, выглядящие вполне безобидно, могут быть не просто
нереалистичными, но способны привести к внутренней противоречивости и
другим патологиям. Релятивистская квантовая теория оказывается очень
жестко ограниченной и требовательной к виду взаимодействия. Это
замечательно. Но такая теория оказывается трудна математически. Это
плохо. Так что нет приемлемых реалистических теорий, которые были бы при
этом точно решаемыми.
Взаимодействие
199
С учетом этих замечаний вернемся к нашей модельной теории поля, добавив к
ней простое взаимодействие. Для этого в правую часть (9.2) добавим
слагаемое, пропорциональное <р3. Это соответствует добавлению к плотности
гамильтониана (9.3):
Ны = А^4.
Коэффициент пропорциональности Л здесь выступает в роли "константы
связи". Посмотрим, к каким следствиям это может привести, по крайней
мере, на уровне теории возмущений, на которой мы остановимся чуть позже.
Как уже говорилось, в конкретной модели мы сталкиваемся с серьезными
математическими трудностями, независимо от того, приводит ли такая
модификация действительно к самосогласованной теории взаимодействующих
частиц. Но здесь мы спрячем все концы в воду, поскольку предполагаем
использовать эту модель в чисто педагогических целях и получить из нее те
свойства, появление которых, по крайней мере, на уровне теории
возмущений, можно ожидать и в более реалистичных теориях, рассмотренных
позднее.
Развитие во времени любой квантовой системы подчиняется уравнению
Шредингера (9.1), которое задается гамильтонианом системы. В отсутствие
взаимодействия модельная теория дает кванты данного поля. Но ничего
другого. Все происходит благодаря добавлению взаимодействия в
гамильтониан. Сразу появляется множество реакций рассеяния, которые
ограничены лишь законами сохранения. Когда две частицы (мы будем называть
их мезонами) сталкиваются при некоторой достаточно малой энергии,
происходит упругое рассеяние - два мезона сталкиваются, два мезона
разлетаются. При более высоких энергиях разлетающихся мезонов их может
стать четыре, и т.д.; все большее число реакций может происходить по мере
повышения энергии столкновения. В нашей конкретной модели вероятность
(сечение рассеяния) появления нечетного числа частиц равна нулю. Причина
в том, что полное число частиц, участвующих в реакции, должно быть
четным. Как мы увидим далее, это связано с тем фактом, что Нт{ является
четным полиномом четвертого порядка.
Напомним, что сечение рассеяния для любой реакции частиц определяется
квадратом амплитуды перехода, умноженной на легко вычисляемый множитель
фазового пространства. Поэтому основная трудность связана с вычислением
амплитуды перехода. Точное ее вычисление в настоящее время просто
безнадежно, так что приходится прибегать к различного рода приближениям.
Среди них стоит выделить подход на основе теории возмущений, который
лучше всего приспособлен для интуитивного описания. По отношению к нашей
модельной теории идея состоит в разложении любой желаемой амплитуды
перехода в ряд по степеням константы связи Л. Например, амплитуда
перехода при упругом рассеянии является функцией Л, а также энергии
столкновения и угла
200
Глава 9
рассеяния. Раскладывая в ряд по Л, мы получим амплитуду как бесконечную
сумму слагаемых, каждое из которых зависит от энергии и угла. Ведущее
слагаемое пропорционально А1, следующее - А2, и т. д. Существуют
определенные математические правила, позволяющие вычислять каждое
слагаемое в разложении, хотя вычислительные сложности при повышении
порядка (увеличении степени А) растут очень быстро. Более того, даже если
ряд сходится, для получения точного результата надо просуммировать
бесконечно большое число слагаемых, каждое из которых должно быть
предварительно вычислено. Поэтому теория возмущений будет полезна хотя бы
