Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
определенное время жизни и почти определенная массу. Некоторые их них:
протоны, нейтроны и электроны - комбинируются в большое число различных
групп, образуя материальный, макроскопический мир повседневной жизни.
Фотоны, взятые во всей совокупности, образуют повседневный мир света (а
также радиоволн, рентгеновских лучей и т.д.). По этим причинам на
макроскопическом уровне нас, очевидно, привлекают частицеподобные
объекты. Тем не менее, с теоретической точки зрения, частицы не являются
первичной теоретической конструкцией. Приходится обращаться к квантовым
полям. Обратимся сначала к классической ситуации.
Классически, частицы и поля являются динамическими величинами равного
статуса. Любая данная частица имеет определенное положение в каждый
момент времени. Цель динамики - предсказать, как положение меняется со
временем. Изменение во времени определяется законом Ньютона и
действующими силами. В противоположность этому, классическое поле ip(x,
у, z, t) является величиной, определенной сразу во всем пространстве.
Цель динамики для поля - предсказать, как поле меняется со временем в
каждой точке пространства. Поскольку существует бесконечно много точек
пространства, существует и бесконечно много динамических переменных, или
степеней свободы. Динамика определяется соответствующими уравнениями в
частных производных, например, уравнениями Максвелла для электрических и
магнитных полей. Общая динамическая система содержит как поля, так и
частицы: для электромагнетизма, кроме полей Е и В, существуют заряженные
частицы.
Как перейти к квантованию полей? Сначала проделаем это для системы
частиц. Основными классическими наблюдаемыми величинами
Свободные поля и свободные частицы
195
для частиц являются положение и вектор импульса. Другие интересующие нас
величины, например, энергия, угловой момент, и т.д. могут быть выражены
через координаты и импульс. С учетом этого, квантование состоит в замене
координат и импульсов операторами (которые мы будем обозначать сверху
тильдой). В представлении Шредингера, которое мы использовали, эти
операторы не зависят от времени. Другие наблюдаемые, например, энергия,
при этом тоже станут операторами. Состояние системы закодировано в
волновой функции, которая меняется со временем в соответствии с
уравнением Шредингера (4.19). Самым основным моментом в этой процедуре
являются коммутационные соотношения между операторами координат и
импульсов. Оператор координаты одной частицы коммутирует с операторами
координат и импульсов остальных частиц. Для данной частицы не равны нулю
коммутаторы
Эти коммутационные соотношения, совместно с уравнением Шредингера, и
составляют ядро процедуры квантования системы нерелятивистских частиц.
Аналогичная процедура предлагалась ранее и для квантования
электромагнитного поля. Это полевая система, которую мы уже встречали в
классическом виде; но для понимания процедуры квантования полей были
придуманы другие понятия, которые в классическом варианте не встречаются.
Мы будем интересоваться только полями, которые удовлетворяют
релятивистски инвариантным уравнениям, и начнем с простой модели, которую
будем использовать только в педагогических целях. А именно, рассмотрим
поле ip(x, у, z, t), которое на классическом уровне удовлетворяет
уравнению:
Константа р получит физическую интерпретацию чуть позже, пока будем
считать ее за параметр. Из (9.2) легко получить, что величина, которая не
меняется с течением времени, может быть отождествлена с энергией поля. С
точностью до множителя, который зависит от соглашения, плотность энергии
(энергия на единицу объема) может быть записана в виде
[х, Рх] = [у, РУ\ = [Z, Pz] = ih.
(9.1)
Свободные поля и свободные частицы
(9.2)
196
Глава 9
Мы будем ссылаться на это выражение как на плотность гамильтониана.
Аналогичные выражения можно записать для плотностей импульса и углового
момента, переносимых полем.
Для понимания квантования вернемся к динамике частицы и рассмотрим
отдельную частицу массы то, двигающуюся в потенциале У(х, у, z). Аналогом
уравнения (9.2) являются уравнения Ньютона:
dpx _ дУ dpy _ _dV_ dpz _ дУ _ dr_
dt дх ' dt ду1 dt dz ' ^ dt
Аналогом соотношения (9.3) является полная энергия, или гамильтониан:
Н = 2~ {pI +Р1+ Pz) + v-
Всего имеется три координаты х, у, z и три импульса частицы рх, ру, pz. В
соотношении (9.3) роль координат играют зависящие от времени значения
поля ip{x, у, z, t) в каждой точке пространства. Вспомним, что импульс
частиц пропорционален производной по времени от соответствующей
координаты; мы будем считать производную по времени от
dtp ,
поля -tj- = тг(х, у, z, t) "импульсом", который соответствует
"координате" <р(х, у, z, t). Это приводит к следующему соображению. Для
квантования заменим -> ф(х, у, z) и тт -> п(х, у, z) операторами, которые
зависят от точек пространства, но не зависят от времени. Заметим, что
аргумент этих операторов (х, у, z) сам по себе не является оператором;
