Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
нескольких сотен тысяч или около того, градусов Кельвина! Таким образом,
для металлов при любой реальной температуре Т <С Тр.
Конечно, даже в рамках модели свободных электронов, для того, чтобы
понять роль зоны проводимости в металлах, необходимо учитывать не только
основное состояние, но и возбужденные. Любое многочастичное состояние
характеризуется тем, какие одночастичные состояния заняты. Для
многочастичного основного состояния заняты все
V = L3. (6.3)
квТр = ер.
136
Глава 6
одночастичные состояния до уровня Ферми, но не выше его. Для возбужденных
многочастичных состояний занятыми оказываются некоторые состояния выше
уровня Ферми. Соответственно, оказывается незанятой некоторая часть
одночастичных состояний ниже уровня Ферми (незаполненные состояния ниже
уровня Ферми часто называют "дырками"). При любой конечной температуре
ферми-газ электронов соответствует смеси энергетических собственных
состояний. При нормальной температуре в этой смеси доминирует основное
состояние, поскольку среди возбужденных состояний, в которые дает вклад
лишь малая часть электронов, представлены лишь низкоэнергетические
уровни. Только эти электроны, находящиеся над уровнем Ферми, дают
электронный вклад в свойства металлов, например, в теплопроводность и
электропроводность. Это происходит потому, что электроны ниже уровня
Ферми не могут быть легко адсорбированы или дают малый вклад в энергии,
соответствующие явлениям при обыкновенных температурах: соседние
состояния выше и ниже уровня Ферми по большей части уже заняты, а принцип
Паули не позволяет заполнять их дополнительно.
Удивительным свойством ферми-газа является то, что даже при очень низких
температурах - в частности, даже при абсолютном нуле температур - в нем
существует ненулевое давление. Рассмотрим этот температурный предел.
Возьмем систему в основном состоянии при Т = = 0; как видно из (6.3),
энергия этого уровня является функцией только объема V. Чем меньше объем,
тем больше энергия. Сжимая газ, можно увеличить энергию за счет работы
силы, например, если одна из стенок действует как поверхность поршня. Это
и приводит к давлению, которое газ оказывает на стены. Поэтому давление Р
можно получить, взяв производную со знаком минус от энергии по объему.
Если это сделать, то получим, что произведение давления и объема равно
Для сравнения приведем ту же величину для классического идеального газа,
который рассматривают в школе:
При Т = 0 в идеальном газе давление отсутствует. А в квантовом газе
существует. Для температур, больших по сравнению с температурой Ферми,
уравнение состояния ферми-газа сводится к классическому идеальному газу.
Но в области Т <С Тр поведение квантовой системы существенно отличается
от классической. В этой области можно сказать, что ферми-газ является
вырожденным, и говорят о вырожденном давлении.
Электроны зоны проводимости в металлах находятся как раз в вырожденном
режиме, так что вырожденное давление вносит важный вклад
2
ферми-газ: PV = -Nsp-
(6.4)
PV = NkBT.
(6.40
Ферми-газ
137
в коэффициент объемного сжатия металла (коэффициент объемного сжатия
связывает изменение давления с соответствующим изменением объема).
Вырожденное давление играет важную роль в космических явлениях.
Нормальные звезды, подобные нашему собственному Солнцу, состоят, в
основном, из электронов и ионов водорода и гелия. Водород сгорает,
превращается в гелий, позитроны и нейтрино в результате, конечно, не
химических, а ядерных реакций. Электроны и другие частицы находятся в
режиме идеального газа, при котором температура и плотность согласованы
друг с другом так, что давление газа стабилизирует звезды относительно
гравитационного коллапса. Угроза гравитационного коллапса, конечно,
остается, поскольку гравитационные силы являются притягивающими; они
стараются собрать все частицы материи вместе. Давление газа мешает этому.
По мере того как водород выгорает, звезда начинает сжиматься. Это
приводит к увеличению плотности и, следовательно, к увеличению
температуры; в конечном счете электронный газ переходит в вырожденный
режим. Если звезда не слишком массивна, и гравитационные силы не слишком
сильны, вырожденного электронного давления будет достаточно, чтобы снова
стабилизировать звезду, теперь уже в новом обличье белого карлика.
Ограничение на массу, впервые полученное Чандрасекаром, составляет
примерно 1,4 солнечных массы. В стадии белого карлика звезда не выгорает,
но становится очень горячей благодаря энергии, выделяющейся при
гравитационном коллапсе, который привел к этой стадии. В последующую
эпоху звезда остывает. Типичная плотность белого карлика в 107 раз больше
плотности Солнца. Радиус такой звезды примерно равен земному. Температура
в центре составляет около 107 градусов по стоградусной шкале. Хотя это
кажется большим значением, все же оно мало по сравнению с температурой
Ферми, составляющей около 1011 градусов. По мере сближения электронов
