Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
своего положения равновесия. Конечно, реально электроны зоны проводимости
взаимодействуют между собой и с положительными ионами. Было бы
неправильно игнорировать эти межчастичные силы. Но мы сделаем нечто
подобное и позволим себе очень упрощенное рассмотрение, воплощенное в так
называемой свободной модели электронов. К удивлению, это не является
грубой ошибкой; эта модель воспроизводит, по крайней мере, некоторую
феноменологию. И в то же время она проста.
Одно измерение
В качестве разминки возьмем одномерную задачу. Рассмотрим систему из N
тождественных фермионов со спином 1/2 (назовем их элек-
134
Глава 6
тронами), которые свободно движутся в одномерном ящике со стенками при х
= 0 и х = L. Мы предположим, что N и L являются макроскопическими (т. е.
очень большими). Отношение N/L является средней плотностью (число
электронов на единицу одномерного "объема"). Вычислим энергию основного
состояния такой системы. В соответствии с обсуждением соотношения (6.1),
поскольку мы предполагаем, что электроны не взаимодействуют между собой и
не взаимодействуют с ионами, достаточно решить задачу на собственные
значения энергии для отдельного свободного электрона в ящике. Мы уже
делали это, и результаты приведены в (5.3), исключая то, что энергии мы
будем обозначать греческой буквой е, оставляя латинскую Е для
многочастичной системы. Основное состояние последней мы получим, помещая
два электрона (спин вверх, спин вниз) в одночастичное пространственное
состояние п = 1, далее 2 электрона в п = 2, и т.д., до тех пор, пока не
разместим все N электронов. Согласно принципу Паули, в одночастичном
пространственном состоянии не может находиться больше двух электронов.
Для простоты, пусть N является четным, так что максимальное значение п в
любом занятом состоянии не может быть больше nmax = N/2. (Даже если N
нечетно, единицу можно отбросить, если N очень велико.) Энергия основного
состояния полной системы равна
Множитель два перед выражением, стоящим в правой части, равняется числу
спиновых состояний для каждого пространственного состояния с индексом п.
При больших N, с точностью до 1/N, сумму можно заменить на интеграл и
легко вычислить. Энергия основного состояния, приходящаяся на одну
частицу, будет равна
Заметим, что энергия, приходящаяся на одну частицу, зависит от N и L
только через их отношение; таким образом, энергия зависит только от
плотности частиц N/L.
Рассмотрим случай N электронов, находящихся в кубическом ящике со
стороной L. Нас снова будет интересовать макроскопический предел, в
котором число частиц N и объем L3 одновременно являются большими, но при
этом N/L3 является средней плотностью частиц. Снова вычислим энергию
основного состояния. Ситуация повторяет одномерный случай, только теперь
мы сошлемся на одночастичный
{l2 + 22 + 32 + ...+ (|)2}
(6.2)
Три измерения
Ферми-газ
135
спектр (5.4). Каждый такой пространственный уровень задается тремя
индексами щ, П2, п$. Состоянию с минимальной энергией соответствует (rii,
П2, пз) = (1, 1, 1). Поместим в такое состояние два электрона, со спином
вверх и со спином вниз. Дальше располагаются вырожденные одночастичные
состояния (1, 1, 2), (1, 2, 1) и (2, 1, 1). Поместим в каждое из них по
два электрона и будем двигаться далее вверх по энергиям, пока все N
электронов не будут использованы. Тогда энергия TV-частичного основного
состояния будет в точности являться суммой одночастичных энергий. При
больших N, пренебрегая поправками 1 /TV, сумму можно заменить на
интеграл. Тогда энергия основного состояния, приходящаяся на одну
частицу, будет равна
Так называемая энергия Ферми ер является энергией наивысшего занятого
состояния, когда многочастичная система находится в основном состоянии.
Она зависит только от отношения полного числа электронов TV к полному
объему V, т. е. плотности N/V, взятой в степени 2/3. Средняя энергия
электрона, E0/N, равна трем пятым от энергии Ферми.
Действие принципа Паули, как нетрудно видеть, очень существенно. Если бы
не было этого ограничения, основное состояние TV-частич-ной системы
получится в случае, когда все электроны будут находиться в низшем
одночастичном состоянии. В этом случае Eq/N будет пропорционально
отношению 1/Л2, которое, по существу, равно нулю для макроскопических L.
Принцип Паули заставляет электроны разместиться в интервале от наинизшего
состояния до уровня Ферми. Для электрических плотностей, которые дают
вклад в зону проводимости реальных металлов, энергии Ферми обычно
составляют от одного до десяти и более электрон-вольт. Во многих случаях
эти энергии можно воспринимать как большие в том смысле, что они сравнимы
с тепловой энергией крТ. Здесь кв является константой и Т, как всегда,
является температурой по абсолютной шкале (абсолютный нуль соответствует
-273° стоградусной шкалы). Удобно определить температуру Ферми с помощью
соотношения
Характерные температуры Ферми меняются от нескольких десятков тысяч до
