Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
в противоположную сторону вдоль некоторой несущественной оси. Например,
электрон идущий слева, имеет спин вверх, идущий справа - спин вниз.
(2) Параллельные спины: спины направлены у обоих либо вверх, либо вниз,
независимо от того, какое направление выбрано.
Предположим, что детекторы могут накапливать рассеянные электроны, не
чувствуя их спин. Тогда, поскольку мы предполагали, что электрон-
электронное взаимодействие не зависит от спина, тогда можно ожидать, что
угловое распределение Р(в) будет одинаково для двух вышеперечисленных
ситуаций. Но распределение оказывается неодинаковым. Причина в следующем.
Во втором случае, поскольку спины па-
132
Глава 6
раллельны, спиновая часть волновой функции является симметричной. Но
полная волновая функция должна быть антисимметричной, следовательно,
антисимметричной должна быть пространственная часть волновой функции. В
первом случае волновая функция является линейной комбинацией двух
выражений. Одна из них - волновая функция, соответствующая случаю 2, а
вторая - полностью симметричная пространственная волновая функция,
сопровождаемая антисимметричной спиновой частью. Поэтому пространственные
волновые функции в этих двух случаях различны. Таким образом, хотя законы
для сил и детекторы спин непосредственно не ощущают, требование
комбинирования пространственно-спиновой антисимметрии приводит к эффектам
зависимости от спина. Ситуация особенно драматична при в = 7г/2(90°). В
случае 1, Р(7г/2) имеет ненулевое значение, в то время как в случае 2,
Р(тг/2) = 0.
Принцип Паули
Правило для фермионов иногда формулируют как утверждение: два фермиона не
могут одновременно находиться в одинаково состоянии. Эта формулировка
носит имя Вольфганга Паули. Но эта формулировка достаточно неопределенна,
поскольку в многочастичных системах собственно не существует понятия
индивидуальных состояний частиц. Волновая функция системы включает в себя
все частицы совместно. Но существуют специальные условия, когда
интересующие нас состояния строятся из одночастичных состояний. Пусть vn
- набор одночастичных состояний, которые обозначают функцию от положения
г и квантового спинового числа ms отдельного фермиона. Одночастичные
состояния мы будем отмечать общим индексом п. Для системы из двух
тождественных фермионов существует специальный класс двухчастичных
состояний, который получается как антисимметризованное произведение
одночастичных состояний:
ипп'{ 1) 2) = -- {ип(1)ип' (2) un(2)uni (1)}.
V 2
Аргументы 1 и 2 относятся к координатам и спиновому квантовому числу
частиц 1 и 2, соответственно. Ясно, что ипп> является антисимметричной
относительно перестановки аргументов 1 и 2. По отношению к такому типу
двухчастичных волновых функций можно собственно сказать, что одна из
частиц находится в одночастичном состоянии vn, другая - в одночастичном
состоянии vn>. Но мы не можем сказать, какая из частиц в каком именно
состоянии находится. Это следует, так сказать, из вышеприведенной
формулы. Более того, очевидно, что не существует двухчастичного состояния
с п = п', в котором оба электрона находятся в одном состоянии. Так
срабатывает принцип Паули. То, что
Ферми-газ
133
здесь было описано для двух частиц, может быть без труда обобщено на
систему из N фермионов. Взяв произведение N одночастичных состояний
vn(l)vni(2)vnn(3), ..., затем антисимметризуем их, чтобы построить TV-
частичное состояние ип,Естественно, что все метки п, п!, п"... должны
быть различны. Эта многочастичная функция говорит, что один из электронов
находится в состоянии vn, другой в vn>, третий в vn" и т.д. Опять же, нет
смысла говорить, какой электрон в каком состоянии находится. Они
меняются. Для класса многочастичных состояний, описанных здесь,
многочастичная задача на собственные значения сводится к решению
одночастичной задачи. Возьмем состояние vn, которое является собственной
функцией, соответствующей энергии еп. Здесь мы снова будем понимать, что
п - это некоторый индекс, позволяющий отличать одно состояние от другого.
Теперь нетрудно получить, что собственные функции для TV-частичной задачи
являются антисим-метризованным произведением ип?П',п"...> как это
обсуждалось выше. Собственные функции задаются набором индексов п, п',
п",.... Соответствующие уровни энергии получаются как сумма одночастичных
энергий:
Еп, п',п"... = ?п + ?п' + ?п" + • • • (6.1)
Этот результат согласуется с нашей интуицией; а именно, что энергия
многочастичной системы должна получаться как сумма одночастичных энергий
в силу отсутствия межчастичного взаимодействия.
Пришло время остановиться на примерах.
Ферми-газ
Электроны внешних оболочек (валентные электроны) в металлах не связаны с
отдельными атомами, а вместо этого движутся в металле более или менее
свободно с энергией, которую не совсем верно называют "энергией зоны
проводимости". Положительно заряженные ионы практически остаются на
месте, образуя регулярную решетку и совершая малые колебания вблизи
