Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
процессов распада времена жизни достаточно малы, чтобы привести к
заметному разбросу энергии. Действительно, для некоторых короткоживущих
частиц время жизни определяется не непосредственно, а через измерение
разброса энергии.
Глава 6
Тождественные частицы
Правила симметрии и антисимметрии
Хотя принципы квантовой механики в этой книге были заложены в общем виде,
до сих пор мы рассматривали случай отдельной частицы. По мере того, как
число частиц в системе увеличивается, растут и вычислительные сложности,
которые уменьшают возможность получить точный ответ. Для упрощения задачи
в таком случае приходится использовать различные модели, основанные на
физической интуиции или математических приближениях. При этом, если бы
все частицы отличались друг от друга, никаких новых принципов для
многочастичных задач не появилось бы. Замечательным фактом является то,
что различные элементарные частицы одной природы появляются всегда в
строго идентичных копиях. Почему это происходит именно так, мы обсудим
несколько позднее. В данный момент лучше остановится на том, к чему
приводит в квантовой механике тождественность частиц.
Как с точки зрения классики, так и квантовой механики две частицы будут
идентичны, если они ведут себя одинаково во всех мыслимых исследованиях.
Если измеряется масса, то в эксперимент должен давать одинаковую массу;
если действует электрическое или магнитное поле, они должны приводить к
одинаковым зарядам; они должны рассеивать свет одинаковым образом; и т.
д. Классически, если объекты являются макроскопическими, мы можем
пометить их и различать с помощью идентифицирующих ярлыков. Правда это
небольшое жульничество: маркированные объекты перестают быть идентичными.
Поэтому мы хотим рассмотреть объекты, на которые нельзя повесить ярлыки.
Во всяком случае, в классическом случае нет необходимости физически
помечать частицы. Хотя внутренне они идентичны, мы, в принципе можем
отследить за каждой из них и просто объявить, что в некоторый начальный
момент времени первая частица находилась здесь, вторая - там, и т. д.
После этого, в принципе, мы можем отследить их движение по траекториям и
таким образом поддерживать выбранную идентификацию. Пусть
Правила симметрии и антисимметрии
129
силовые поля, в которых движутся частицы, действуют на них одинаковым
образом, как это подразумевается многими гипотезами, объясняющими
идентичность частиц. Но начальные условия у частиц неодинаковы (первая -
здесь, вторая - там, и т.д.); следовательно, их траектории различны,
поэтому мы всегда знаем, где какая частица находится. Следовательно,
классически невозможно создать какой-либо специальный принцип, если мы
имеем дело с тождественными частицами.
Квантовомеханическая ситуация существенно отличается от классической,
поскольку имеет дело не с определенными положениями частиц, а только с
вероятностями. Возможна ситуация, когда первоначальная волновая функция
двух частиц сконцентрирована вблизи двух точек, для первой частицы вблизи
одной точки "здесь", для второй - в точке "там". Точку "здесь" мы
припишем первой частице, точку "там" - второй. Но это различие исчезнет с
течением времени, поскольку волновые пакеты движутся и меняют свою форму.
Первоначальные максимумы волновых функций будут уширяться и
перекрываться.
Способы работы квантовой механики с тождественными частицами, вообще
говоря, очень различны, что имеет далеко идущие следствия. В соответствии
с общим смыслом тождественности оператор Гамильтона (энергия),
управляющий системой тождественных частиц, учитывает их, конечно, на
полностью симметричной основе. Он будет симметричен при любой комбинации
перестановок положений и спинов любых частиц. Например, если метки г\ и
S\ соответствуют координатам и переменным спина для 1-ой частицы, а Г2 и
S2 - для второй частицы, тогда гамильтониан будет симметричен
относительно совместной перестановки г\ и Г2 вместе с ^ и S2, хотя и не
обязательно будет симметричен, если производить перестановку только
координат или только спина. Аналогично можно сказать о перестановках
меток любой другой пары частиц в системе.
Волновая функция системы из N идентичных частиц зависит от координат Гг и
спиновых квантовых чисел ("переменных") mSj, г = = 1,2, ... Чтобы
избежать лишних символов, будем включать эти переменные в компактные
обозначения аргументов волновой функции. Для любого состояния Ф,
заданного своими переменными, будем записывать Ф(1, 2, ... N, t), где
число 1 соответствует г\ и тЙ1, число 2 соответствует Г2 и mS2, и т. д. С
точки зрения математики, волновая функция системы тождественных частиц не
обязана иметь какие-либо свойства симметрии, даже если оператор
Гамильтона, управляющий временной эволюцией, является симметричным, как
уже говорилось выше. Однако природа более требовательна. Существуют
квантовомеханические правила, которые состоят в следующем:
Волновая функция системы тождественных частиц, спин которых S является
