Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
моменте см. (4.26) и (4.27)). Собирая все вместе, мы можем выбрать
собственные состояния общими для L2, J2 и Jz. Собственные состояния
энергии (назовем их wn, ;,j, т,-) нумеруются квантовым числом I
орбитального углового момента, квантовыми числами j и rrij полного
углового момента и главным квантовым числом п. Из (4.28) мы знаем, что
для любых j орбитальное квантовое число может принимать только два
значения: I = j + l/l, i - 1/2. Поскольку в пространстве нет
предпочтительных направлений, мы можем быть уверены, что энергия не
зависит от квантового числа rrij. Следовательно, уровни энергии Enjj
могут отмечаться только тремя индексами и кратность вырождения равна 2j +
1. Набор вырожденных 2j + 1 состояний, занумерованных одинаковым
квантовыми числами п, I, j, но различными rrij образует то, что
спектроскописты называют мультиплетом.
Все это относится к любому центральному потенциалу. Но куло-новский
потенциал очень специфичен. Он имеет дополнительное вырождение. Мы уже
отмечали это при рассмотрении в нулевом порядке одноэлектронного атома
без учета релятивистских и спин-орбитальных поправок, сделанных позднее.
В этом нулевом приближении существует вырождение по к для данного п\
уровни энергии зависят только от главного квантового числа п. Некоторая
часть этого остается, даже если принять во внимание поправки. Для данного
п энергии различаются при различных значениях j, так что уровни
расщепляются на подуровни, для которых j меняется через единицу от j =
1/2 до j = п - 1/2. Но для данного j существует вырождение по I:
состояние с I = j + 1/2 и I = j - 1/2 имеют одинаковую энергию. В
результате, для одноэлектронных атомов уровни энергии Enj зависят только
от двух квантовых чисел. Вырождение равно 2(2у + 1), где второй множитель
представляет вырождение, связанное с квантовым числом rrij, и множитель 2
связан с числом различных I при заданном j. Получающиеся собственные
значения энергии:
Z2eAm\, , {Zaf ( 2п 3\]
= 11 ~
" he ~ 137'
Выражение перед фигурными скобками - это результат нулевого порядка.
Выражение в фигурных скобках - это единица плюс поправочные слагаемые;
поправка составляет величину порядка (Za)2, которая достаточно мала, если
Z не слишком большое. Так получается, что дира-
Одноэлектронный атом
121
ковское уравнение для релятивистского электрона может быть решено точно в
случае атома водорода. Точный результат сохраняет качественные
результаты, полученные выше; а именно, существует вырождение по I для
данного j. Более точно, в первом порядке по (Za)2 результат Дирака
согласуется с вышеприведенной формулой, но включает в себя и все поправки
более высокого порядка. Для малых Z эти поправки высших порядков очень
малы.
Абсолютное значение энергии значительно труднее для экспериментального
измерения, чем разность энергий. Особый интерес представляет вопрос о
том, разделены ли энергетическими барьерами состояния с одинаковыми п и j
и разными I. В частности, рассмотрим состояние п = 2 атома водорода (Z =
1). Здесь можно выделить три результата: (j, I) = (1/2, 0), (1/2, 1) и
(3/2, 1). Их соответствующие спектроскопические обозначения s i/2, Р1/2 и
Рз/2- Индекс соответствует значению j; и по причинам, которые мы здесь не
обсуждаем, буква s соответствует I = 0, р для I = 1. Дираковское
предсказание состоит в том, что si/2 и pip мультиплеты точно имеют
одинаковую энергию; более того, эта пара должна лежать ниже уровня р^/2,
на расстоянии, предсказываемом (5.21), - или даже более точно с помощью
полностью релятивистской формулы Дирака.
Таким образом, более чувствительный из этих двух тестов предсказывает
вырождение p\j2 и S1/2 мультиплетов. Что же говорит эксперимент? Ничего,
до середины 40-х годов, когда прошло много времени после того, как (5.21)
было обнародовано и исследовано Дираком. Только после этого первое
уверенное обнаружение разделения этих двух мультиплетов было сделано В.
Лэмбом и Р. Резерфордом. Они обнаружили, что уровень pi/2 лежит ниже
уровня S]y2 на величину, меньшую 1СГ5 электрон-вольт. В общем, в
спектроскопии принято выражать разность энергий АЕ через частоту
воображаемого фотона, обладающего A F1
энергией АЕ: / = --, где АЕ - разность энергий и / - обыкновен-2ттгь
ная частота колебаний. Лэмбовский сдвиг, как он называется, сейчас
известен с очень большой точностью:
Сдвиг Лэмба = 1057,86 Мегациклов/сек.
Подобно "аномальному" множителю Ланде (см. (5.20)) ("аномальность"
состоит в том, что он получился из уравнения Дирака) существование
лэмбовского сдвига происходит из квантовой теории поля электронов и
фотонов. Вскоре после появления первоначального исследования Лэмба
теоретики стали работать в этом направлении, и вскоре им удалось провести
расчеты, сопоставимые с экспериментом. Точность экспериментов и расчетов
в последующие годы значительно возросла, и их согласованность продолжает
усиливаться.
122
Глава 5
Мы уделили большое внимание одноэлектронному атому по той причине, что он
